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[지수함수와 친해지기_001] 지수함수 그래프 개형을 익혀보자~(무한구간의 넓이가 유한? 진짜?)

fafamath — Sun, 17 May 2026 20:10:03 +0900

도입 — 시리즈 첫 시간이야

자, 오늘부터 지수함수와 친해지기 시리즈를 시작할 거야~

총 6편짜리 시리즈인데, 1편인 오늘은 그냥 가볍게 시작할게. "지수함수가 도대체 어떻게 생긴 친구인지" 그 모습부터 익숙해지자는 거야.

근데 가볍게 시작한다고 내용이 부실한 건 절대 아니야. 1편에 아빠가 정말 좋아하는 충격적인 사실 하나가 들어가 있거든. 미리 살짝 말해주자면 — "무한히 긴 구간인데, 넓이는 유한해진다" 라는 거야. 이게 뭔 소리야 싶지? 끝까지 읽어봐. 깜짝 놀랄 거야.

그리고 마지막엔, 학생들이 시험에서 진짜 많이 헷갈리는 "세 친구" 정리까지 갈 거야. 지수함수랑 원점대칭 함수랑 로그함수 — 셋이 비슷해 보여서 자꾸 헷갈리는 그 친구들 말이야.

자, 시작해볼까~

지수함수가 뭐냐고?

먼저, 지수함수가 뭔지부터 보고 가자.

지수함수의 모양은 이렇게 생겼어:

여기서 한 가지만 더 짚고 갈게. 왜 밑 $a$에 $a > 0$이고 $a \neq 1$ 이라는 조건이 붙냐고? 잠깐만 생각해보자.

$a = 1$이면 어떻게 돼? $1^x$은 $x$가 뭐든 항상 $1$이야. 그냥 상수함수가 돼버려서 "함수"라고 부르기엔 너무 시시해.
$a < 0$이면? 예를 들어 $a = -2$일 때 $(-2)^{1/2}$ 같은 게 나오면? 음수의 제곱근... 실수 범위에선 안 돼. 골치 아파져.
$a = 0$이면? $0^0$ 같은 게 나오는데 정의가 애매해.

그래서 깔끔하게 "양수이면서 1이 아닌 수" 로 약속한 거야. 어렵게 생각할 필요 없어 — "잘 정의되도록 하기 위한 약속" 정도로 받아들이면 돼.

그리고 한 가지 더 — 지수법칙 잠깐 짚고 갈게:

$$ a^x \cdot a^y = a^{x+y}, \qquad (a^x)^y = a^{xy}, \qquad a^{-x} = \dfrac{1}{a^x} $$

이거 중학교 때 배운 거지? 지수함수에서도 그대로 통해. 특히 세 번째 — $a^{-x} = \dfrac{1}{a^x}$ 이거, 좀 이따 아주 멋진 데서 다시 만날 거야. 기억해둬!

그래프 그려보자 — 폭발 + 점근, 그리고 y축 대칭

말로만 설명하면 안 와닿잖아. 그래프를 그려보자.

어때, 모양 보여? 두 가지 핵심 특징이 한눈에 들어와:

오른쪽으론 폭발적으로 커진다. $x$가 1만 커져도 $y$값은 2배가 되니까, $x=10$이면 $y=1024$, $x=20$이면 $y$가 100만이 넘어. 진짜 폭발이지. 아빠가 어렸을 때 "한 알이 두 알 되고, 두 알이 네 알 되는 쌀알 이야기" 들어본 적 있어? 그게 바로 지수적 증가야.

왼쪽으론 x축에 한없이 가까워지지만, 절대 닿지 않는다. $x=-2$일 때 $y = 1/4$, $x=-10$이면 $y = 1/1024$. 점점 작아져서 0에 가까워지는데, 절대로 0이 되지는 않아. 왜냐고? 2를 아무리 많이 곱하거나 나눠도 0이 될 수는 없잖아? 그래서 x축에 한없이 가까워지기만 해. 이렇게 함수가 한없이 가까워지지만 닿지 않는 직선을 점근선이라고 불러. $y = 2^x$의 점근선은 x축 (즉 $y=0$) 이야.

여기서 잠깐 — 한 가지 더 보너스 인사이트 줄게. 학생들이 자주 묻는 질문이야:

"그러면 밑이 1보다 작은 지수함수, 예를 들어 $y = (1/2)^x$는 어떻게 생겼어요?"

새로 외울 필요 없어! 지수법칙으로 한 방에 정리돼.

기억나? 위에서 본 $a^{-x} = \dfrac{1}{a^x}$. 이걸 거꾸로 쓰면:

$$ \left(\dfrac{1}{2}\right)^x = (2^{-1})^x = 2^{-x} $$

즉 $y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$는 결국 $y = 2^{-x}$ 와 똑같은 함수야! 그런데 $y = 2^{-x}$는 $y = 2^x$에서 $x$ 자리에 $-x$를 넣은 거잖아? $x$를 $-x$로 바꾸는 것 = y축 대칭 이야 (1학기 때 배웠지?).

그러니까 "밑이 1보다 작으면 감소함수" 라고 그냥 외우지 마. 그게 아니라 — "밑이 1보다 작은 지수함수는 밑이 1보다 큰 지수함수의 y축 대칭이라서, 결과적으로 감소함수가 되는 거야." 이렇게 이해해야 진짜야.

대박이지? 두 그래프를 따로따로 외우는 게 아니라, 하나의 그래프 + y축 대칭이라는 관계로 이해하는 거야. 이게 1편의 첫 번째 보너스 선물~

지수함수의 5대 특징 정리

자, 그래프를 봤으니 5대 특징을 깔끔하게 정리해보자. 이거 외워두면 시험에서 1초 컷이야.

#	특징	내용
1	정의역	모든 실수 ($x \in \mathbb{R}$)
2	치역	양의 실수 전체 ($y > 0$) — 절대 0 이하로 안 내려감
3	y절편	항상 $1$ ($a^0 = 1$이니까)
4	점근선	x축 ($y = 0$)
5	단조성	$a > 1$이면 증가, $0 < a < 1$이면 감소 (= 증가함수의 y축 대칭)

여기서 가장 중요한 거 하나만 콕 집자면 — 2번, 치역. 지수함수는 항상 양수야. 음수가 되거나 0이 되는 일은 절대 없어. 이거 때문에 이따가 "원점대칭 함수와는 완전히 다른 친구"라는 결론으로 이어져.

그리고 한 가지 더 — 이건 1편에서 미리 살짝 던지고 가는 떡밥인데, "항상 양수" 라는 성질 덕분에 지수함수는 곱해도, 미분해도, 적분해도 모양이 변하지 않는 아주 신기한 성질을 가져. 마치 "마법의 용수철" 같아. 이건 다음 2편에서 본격적으로 다룰 거야~

무한구간인데 유한값? 진짜야!

자, 이제 1편의 진짜 하이라이트야. 이거 듣고 아빠는 처음에 너무 신기해서 잠을 못 잤어. 정말이야.

질문 하나 할게. $y = 2^x$ 그래프 아래, 마이너스 무한대($-\infty$)에서 0까지 영역의 넓이가 얼마일까?

"음... 구간이 마이너스 무한대부터 시작이니까, 넓이도 무한이 되겠지?" — 라고 생각하기 쉬워. 근데 틀렸어! 이 넓이는 유한한 값이야. 놀랍지?

왜 그럴까? 차근차근 생각해보자. 왼쪽으로 갈수록 곡선이 x축에 점점 달라붙어서, 거의 0이 되어버려. $x = -10$일 때 $y$값이 이미 $1/1024$야. $x = -20$이면 $y$값이 거의 $0.0000009$ 정도. 그러니까 왼쪽으로 아무리 길게 늘려도, 곡선 아래 영역은 거의 폭이 0인 종이 한 장에 가까워. 무한히 길지만, 두께가 한없이 얇아져서 넓이의 총합은 유한한 값에 수렴하는 거야.

이거 진짜 신기하지? 무한대인데 유한이라니. 수학의 마법 같아.

실제로 계산해볼까? 부정적분부터 시작하자:

이걸 이용해서 정적분을 해보자. 구간은 마이너스 무한대($-\infty$)에서 0까지:

자, 마이너스 무한대에서 $2^x$가 어떻게 되는지 떠올려보자. 그래프에서 봤지? x가 마이너스로 갈수록 $2^x$는 0에 한없이 가까워져. 그래서:

$\dfrac{1}{\ln 2}$ ≈ 약 1.44 라는 유한한 값이 나와! 무한구간인데 1.44라니, 정말 신비롭지?

자, 여기서 정말 멋진 게 하나 더 있어. 만약 밑이 자연상수 $e$였다면 어떻게 될까?

자연상수 $e$는 약 2.718 정도 되는 특별한 수야. 5편에서 본격적으로 다룰 친구인데, 지금은 한 가지 사실만 알고 가자 — $\ln e = 1$ 이라는 거.

$y = e^x$의 부정적분은:

이걸로 정적분을 해보면:

딱! 1이 나와. 이게 우연일까? 아니야. 4편에서 이 "1"이라는 숫자가 어떤 의미인지 자세히 풀어줄 거야. 미리 말해두면 — $e^x$ 위의 점 $(0, 1)$에서, 접선의 기울기도 1이고 그 점까지의 적분값도 1이라는, 정말 말도 안 되는 일이 벌어지거든. 기대해줘~

아 그리고 한 가지만 더. 이 "무한구간 유한값" 적분, 나중에 너희가 "부분적분"이라는 멋진 기법을 배울 때 핵심 도구로 또 만나게 돼. 그러니까 오늘 잘 봐둬!

헷갈리지 마! 비슷하게 생긴 세 친구

자, 이제 1편 마무리 직전, 정말 중요한 정리 한 번 하자.

시험에서 학생들이 진짜 많이 헷갈리는 게 있어. 모양은 좀 비슷해 보이는데 본질은 완전히 다른 세 친구야.

세 친구는 이렇게야:

(가) 지수함수: $y = 2^x$ (오늘 배운 그 친구)
(나) 원점대칭 함수: $y = -2^{-x} = -(1/2)^x$
(다) 로그함수: $y = \log_2 x$

먼저 지수함수와 그 원점대칭 함수를 같이 보자:

여기서 (나)가 정말 흥미로워. 어떻게 이게 $y = 2^x$의 원점대칭이 되는지, 아빠가 단계별로 보여줄게.

핵심 아이디어는 이거야 — 원점대칭은 그래프를 원점 $(0, 0)$을 중심으로 180도 뒤집는 거거든. 그래서 원래 함수 위의 점 $(x, y)$가 원점대칭 함수에서는 $(-x, -y)$가 되는 거지.

$y = 2^x$에서 $y$를 $-y$로, $x$를 $-x$로 바꾸면:

$$ -y = 2^{-x} \quad \Rightarrow \quad y = -2^{-x} $$

좋아, 그럼 진짜로 원점대칭이 맞는지 직접 점 찍어서 확인해보자:

깔끔하지? $y = 2^x$의 점 $(1, 2)$는 $y = -2^{-x}$에서 $(-1, -2)$가 돼. 정확히 원점 반대편!

그래프로 같이 보면 더 확실해져:

$y = 2^x$가 1·2사분면에 있다면, $y = -2^{-x}$는 3·4사분면에 있어. 원점을 가운데 두고 180도 돌려놓은 모양이지. 정말 깔끔한 대칭이야.

이제 로그함수도 같이 보자. 로그함수는 어떻게 정의되더라?

로그함수는 $y = 2^x$의 역함수야. 역함수가 뭐냐면 — $x$와 $y$를 바꾼 함수지. $y = 2^x$에서 $x$와 $y$를 바꾸면 $x = 2^y$가 되는데, 이걸 $y$에 대해 정리한 게 $y = \log_2 x$.

특징은 이래:

정의역: $x > 0$ (양수만 가능) — 지수함수의 치역이 양수였으니, 역함수는 정의역이 양수.
치역: 모든 실수 — 지수함수의 정의역이 모든 실수였으니, 역함수는 치역이 모든 실수.
그래프: $y = 2^x$를 직선 $y = x$를 기준으로 뒤집은 모양 (역함수의 일반적 성질).

이제 세 친구를 모두 한 좌표평면에 올려보자:

다 다르게 생겼지? 이제 표로 정리해줄게:

표로 보면 한 방에 정리되지? 핵심 차이를 다시 정리하면:

자, 마지막으로 실제 값을 넣어서 확인해보자. 같은 $x$값을 넣었을 때 세 함수가 각각 어떤 $y$값을 만드는지:

차이가 명확하게 보여? 한 줄로 요약하면 이렇게야:

지수함수 $y = 2^x$: 정의역이 모든 실수, 치역은 양수만, 1·2사분면
원점대칭 함수 $y = -2^{-x}$: 정의역이 모든 실수, 치역은 음수만, 3·4사분면 (지수함수의 원점대칭)
로그함수 $y = \log_2 x$: 정의역이 양수만, 치역은 모든 실수, 1·4사분면 (지수함수의 $y = x$ 대칭)

이 중에서 (나)와 (다)가 가장 헷갈리는 짝꿍이야. 둘 다 그래프가 4사분면(x>0, y<0 영역)을 지나가거든:

원점대칭 함수는 4사분면에서 점점 내려가 ($y$가 음수로 더 커짐)
로그함수는 4사분면에서 점점 올라가 ($y$가 0에 가까워짐)

그리고 결정적 차이:

원점대칭 함수는 모든 실수 $x$에서 정의됨 (-5도 OK)
로그함수는 $x > 0$에서만 정의됨 ($x = -1$ 같은 데서는 그래프가 없음!)

이 차이 하나만 봐도 시험에서 즉답할 수 있어. 그리고 "로그함수는 지수함수의 역함수" 라는 사실 — 9강에서 본격적으로 다룰 건데, 미리 머릿속에 박아둬!

마무리 — 마법의 용수철로 이어진다

오늘 1편에서 챙긴 핵심을 정리해보자:

크게 다섯 가지를 챙겼지:

지수함수 $y = a^x$의 모양 — 오른쪽 폭발, 왼쪽 점근. y절편은 1, 치역은 양수만, 점근선은 x축.
밑이 1보다 작은 경우 — 따로 외울 필요 없음. $y = 2^x$의 y축 대칭이 곧 $y = (1/2)^x$니까.
무한구간인데 유한값 — $\int_{-\infty}^{0} a^x\, dx = \dfrac{1}{\ln a}$. 왼쪽 꼬리가 너무 얇아져서 가능한 마법! 특히 밑이 $e$이면 정확히 1.
세 친구 구분 — 지수함수(1·2사분면) / 원점대칭(3·4사분면) / 로그함수(1·4사분면, 지수의 역함수).
원점대칭 = y축 대칭 + x축 대칭 — 두 번의 대칭을 합치면 원점 중심 180도 회전.

근데 사실, 오늘 한 거는 그냥 워밍업이야. 1편의 진짜 임무는 그래프 모양에 익숙해지기까지였거든.

진짜 신기한 이야기는 2편부터 시작돼. 다음 시간에는 — "지수함수는 곱해도, 미분해도, 적분해도 자기 모양을 잃지 않는다" 는 사실을 본격적으로 보여줄 거야. 아빠가 이걸 처음 알았을 때 "어떻게 이런 일이...?" 하고 충격받았던 그 이야기.

비유 하나 미리 던져줄게. 다항함수가 "찰흙" 같다면 — 위아래로 늘이면 모양이 변하고, 미분하면 차수가 깎여 나가니까 — 지수함수는 "마법의 용수철" 같아. 아무리 잡아당기고 비틀어도 결국 자기 자신으로 돌아오는 친구야. 신기하지?

이 "마법의 용수철" 이라는 단어, 시리즈 내내 자주 들을 거야. 자기 닮음의 끝판왕이거든.

오늘은 여기까지~ 1편 같이 와줘서 고마워. 2편에서 만나자~

고3 추가: 출제자의 의도 확인하기 ▼

Q1. 출제자는 왜 이 단원을 냈을까?

지수함수는 로그함수, 미분, 적분의 전 단원 기초라서, 출제자는 "그래프적 직관 + 점근선 처리"가 단단한지를 본단다. 진짜 어려운 문제는 이후 단원에서 나오지만, 출제자는 이 단원의 도입 문제에서 '기초 도구가 흔들리면 뒤가 다 무너진다' 는 걸 알고 일부러 함정을 깔아놔.

Q2. 핵심 출제 포인트 3가지

점근선의 정확한 위치 — 밑이 $0
무한구간 정적분의 수렴/발산 — 적분 방향과 점근선 방향이 맞는지 판단
지수 vs 원점대칭 vs 로그 매칭 — y절편·정의역·점근선 3종 즉답 능력

Q3. 출제자가 노린 함정

함정	설명	회피법
원점대칭 vs x축대칭 혼동	"$y=2^x$의 원점대칭은?" 보기에 $y=-2^x$ 두기	$y=-2^x$는 x축 대칭일 뿐. 원점대칭은 $y=-2^{-x}$
점근선 방향 헷갈리기	"$y=(1/2)^x$의 점근선은?" → y축이라고 답함	y축 대칭을 떠올리면 점근선은 그대로 x축
그래프 매칭 4지선다	$y=2^x$, $y=-2^x$, $y=2^{-x}$, $y=\log_2 x$ 섞어놓고 매칭	y절편·치역·점근선 3종 세트로 1초 컷
적분 발산/수렴 판단	$\int_{0}^{\infty} 2^x dx$와 $\int_{-\infty}^{0} 2^x dx$ 중 수렴은?	점근선 방향 = 수렴 방향

Q4. 가능한 변형 예측

원점대칭 vs x축대칭 매칭형: "다음 중 $y=2^x$의 원점대칭인 것은?" — $y=-2^x$, $y=2^{-x}$, $y=-2^{-x}$ 보기 매칭
수렴 보기 매칭형: "다음 중 무한구간 정적분이 수렴하는 것은?"
그래프 4지선다: 4개 그래프 ↔ 4개 식 매칭

핵심 한 줄: "점근선 방향이 수렴 방향이다. 원점대칭은 x축+y축 두 번 대칭이다." 이 두 줄이 1편에서 가장 강력한 무기야.

[합성함수와 친해지기_005]식은 하나인데,4단으로 변신하는 함수! 4단변신로보트!(feat. 등비수역 극한)

fafamath — Sun, 17 May 2026 08:03:48 +0900

오늘은 합성함수와 친해지기 다섯 번째 시간이야~

지금까지 합성함수의 정통을 차근차근 따라왔지?

그리는 법 → 미분하기 → 미분가능성으로 꿰매기 → 치환적분으로 거꾸로 풀어내기~

오늘은 잠시 쉬어가면서, 아빠가 보고 너무 신기했던 합성함수 하나를 함께 구경해볼까?

학습이라기 보단 감상이야. 그러니깐 부담 없이~

보통 합성함수 vs 오늘의 신기한 함수

자, 보통 합성함수 문제는 어떻게 생겼지?

대부분 이런 식이야.

"x가 -1보다 작은 구간에서는 f(x) = ~~,
x가 -1보다 크고 1보다 작은 구간에서는 f(x) = ~~,
x가 1보다 큰 구간에서는 f(x) = ~~"

이렇게 x의 구간을 미리 나눠서, 각 구간마다 함수식을 따로 적어주는 거야.

그런데 오늘 볼 함수는 좀 달라.

이 문제야. 2026학년도 대비 3월 교육청 미적분 28번이란다.

2026학년도 3월 교육청 미적분 28번

문제 안에 함수 g(x)가 이렇게 정의되어 있어.

g(x) 정의식 — 단 하나의 식

어때? 딱 한 줄. 그것도 단 하나의 식이야.

구간을 나누지도 않았어. 그냥 x에 어떤 값을 넣든 이 식 하나로 처리한다는 거지.

그런데 말이야~ 막상 x 값을 이리 저리 넣어보면…

"이 단 한 식이 등비수열 극한 때문에 저절로 4가지 모습으로 변신해버려. 이른바 4단 변신로보트~"

마치 한 대의 로봇이 4단으로 변신하는 것처럼!

신기하지?

비밀은 "한 변수씩만 보는 것"

이 함수가 좀 헷갈리는 이유가 뭘까?

바로 변수가 두 개라서야. x도 변하고, n도 변하니깐.

두 개를 동시에 보면 누구나 헷갈려. 그래서 아빠가 비밀 하나 알려줄께~

"변수가 두 개라 헷갈리는 거야. 한 번에 한 변수씩만 고정해서 보면 패턴이 보여."

즉, x 자리에 특정한 숫자를 대입해서 잠시 상수처럼 고정시켜놓고, n만 무한대로 보내보는 거야.

이걸 3~4번 정도 반복해보면…

"아하~ 이런 패턴이구나~"

라는 깨달음이 찾아와. 이른바 아하 모먼트(Aha~ moment)~

자, 그럼 x를 어떤 값으로 나눠봐야 할까?

등비수열의 극한 때문에 4가지로 나누면 돼.

4단 변신의 분기 조건

이렇게 4가지! 자, 하나씩 시뮬레이션~

4단 변신 시뮬레이션 — ①, ②, ③

x의 절댓값이 1보다 크면, n이 무한대로 갈 때 x^n과 x^(2n)은 어떻게 될까?

당연히 매우 매우 커지지!

그래서 분자와 분모에서 가장 큰 항인 x^(2n)을 기준으로 정리하면…

경우 1 : |x| > 1 → 2x²

결국 g(x) = 2x² 가 돼.

어? 갑자기 난데없이 2차함수가 나오네~ 신기하다~

이번엔 x의 절댓값이 1보다 작은 경우. n이 무한대로 갈 때 x^n과 x^(2n)은? 0으로 한없이 가까워지지.

그래서 이번엔 분자·분모에서 상수항(=0이 안 되는 항)이 가장 중요해져.

경우 2 : |x| < 1 → f(x)

결국 g(x) = f(x) 가 돼.

우와~ 이번엔 f(x)가 그대로 나오는구나~

x = 1 이면, 1^n = 1 이고 1^(2n) = 1 이니깐~

경우 3 : x = 1

값이 (3 + f(1)) / 3 으로 수렴해. f(1) = a + b 이니깐 g(1) = (3 + a + b) / 3.

여기까지는 어렵지 않지?

자, 이제 진짜 신기한 부분이야~

경우 ④ : x = -1 — 진동인데 진동이 사라지는 마법

x = -1 일 때를 보자. 이게 오늘의 클라이맥스야~

x = -1 이면 (-1)^n 은 어떻게 되지?

n이 홀수면 -1이 되고, n이 짝수면 +1이 돼.

즉 n에 따라 값이 왔다 갔다 진동해. 정해진 한 값으로 수렴 안 한다는 거야.

경우 4 : x = -1 진동 분석

원칙적으로는 "수렴하는 극한값을 갖지 못한다" 가 정답이야.

보통 여기서 끝나야 해.

근데~ 잠깐만!

문제를 다시 봐봐. 박스 안에 이런 조건이 있었어~

박스 조건 (모든 실수 x에 대해 극한 존재)

"모든 실수 x에 대해 극한이 존재한다" 라고 말이야.

모든 실수에는 x = -1 도 당연히 포함되지? 그렇다면 x = -1 일 때에도 수렴해야 한다는 말이잖아!

어? 분명히 진동인데 어떻게 수렴해?

비밀은 f(-1) 값에 있어.

원래는 n이 홀수일 때 g(-1) 과 n이 짝수일 때 g(-1) 이 서로 다른 값이라 진동하는 거였지?

그런데 만일~ f(-1) 의 값을 아주아주 특별하게 잡아준다면?

두 값이 같아지면서 진동이 사라지고 한 값으로 수렴해버려.

n 짝수일 때 g(-1) = (3 - a - b) / 3

n 홀수일 때 g(-1) = 1 - a - b

이 두 식을 같다고 놓고 풀면 f(-1) = 0 이라는 조건이 자동으로 튀어나와.

f(-1) = -a - b 였으니깐 a + b = 0 까지 따라 나오지~

그리고 f(x)가 원점대칭인 3차함수(ax³ + bx)이므로, f(1) = 0 도 자동으로 따라와.

핵심 결론 — f(-1)=0, f(1)=0

대박이지!

✨

"진동인데 진동이 사라지는 마법~ 이건 출제자의 센스가 빛나는 장면이야."

아빠가 진짜 이 부분이 너무 좋아.

이건 출제자의 센스가 빛나는 장면이야.

학생에게 "발산이니 끝~"이라고 단순히 묻지 않고, 박스 조건 한 줄로 "f(-1) 값을 너가 찾아내봐" 라고 우아하게 요구한 거지. 정말 잘 만든 문제야~

짜잔~ 마지막 합쳐진 모습!

자, 4가지 경우를 하나씩 시뮬레이션 다 했어.

먼저 4단 변신 결과를 한눈에 정리해볼까?

4단 변신 결과 한눈 정리

이걸 따로따로 보면 각각 단순해 보여. 그런데~ 한 그림에 모아 그려보면 더 재미있는 모습이 나와!

최종 g(x) 그래프 — 4단 변신의 합쳐진 모습

봐봐~ 정말 우아하지?

|x| > 1 구간에는 2x² 포물선 두 조각이 양쪽에 솟아있고, |x| < 1 구간에는 f(x) 그대로 곡선이 흐르고, x = ±1 위치에는 모두 높이 1로 점이 콕 찍혀있어 (그래프에 그려진 점 (1, 2)는 2x²의 시작 위치인 빈 점이야).

단 하나의 식이 만든 그림이라는 게 안 믿겨질 정도야.

"단 하나의 식이 만든 그림이라는 게 안 믿겨질 정도야. 수학의 우아한 일면이지~"

이게 합성함수의 우아한 일면이야. 그동안 1~4편에서 다뤘던 합성함수의 정통과는 또 다른 매력이지~

수학이 단지 계산이 아니라, 이런 우아함을 음미하는 학문이라는 걸 한 번 더 느끼게 되네~

다음 시간에는~

오늘은 여기까지!

신기한 g(x) 그래프를 그려봤는데, 사실 이 문제는 여기가 끝이 아니야.

6편 예고 — 추가 조건

문제에는 이런 추가 조건도 있었어. "y = g(x) 의 그래프와 직선 y = k 가 만나는 점의 개수가 1이 되도록 하는 자연수 k 가 존재할 때" 라는 거지.

이 조건을 사용하면 a, b 값이 완전히 특정돼서 답을 계산할 수 있어.

답까지 계산해보는 건 다음 시간(6편)에 해보자~

안녕~

[합성함수와 친해지기_006] 2026 3월 교육청 28번을 4단 변신로보트로 완전 정복

fafamath — Sun, 17 May 2026 07:47:58 +0900

오늘은 합성함수와 친해지기 여섯 번째 시간이야~

지난 5편 기억나? "식은 하나인데 4단으로 변신하는 신기한 합성함수" 살펴봤지~

g(x) 그래프까지 멋지게 그려놓고 끝났는데… 사실 그게 끝이 아니었어.

오늘은 드디어 답까지 계산해보자!

5편에서 완성한 g(x) 그래프

이 그래프, 다시 봐도 우아하지?

작은 정정: 지난 5편에서 그래프 마지막에 점을 설명하면서 아빠가 살짝 헷갈리게 말했어. g(-1) = 1, g(1) = 1 이 정확한 값이야. 두 채워진 점이 똑같이 높이 1이지~ (그래프에 그려진 점 (1, 2)는 2x²의 시작 위치인 빈 점이야.) 헷갈렸으면 미안~

자, 이걸로 정말 끝장을 보자~

5편 끝났을 때 우리 상태

먼저 5편에서 어디까지 왔는지 정리해볼까?

f(x)는 ax³ + bx 꼴인 3차함수 (원점대칭)
f(-1) = 0, f(1) = 0 이라는 조건이 자동으로 따라옴
따라서 a + b = 0, 즉 b = -a

여기까지 왔어. 그러니깐 f(x)는 결국 f(x) = ax³ - ax = ax(x² - 1) 꼴.

근데 아직 a 값을 모르네…

미지수가 하나 남았다는 거야. 이 a를 잡으려면 조건 하나가 더 필요해. 자, 그 조건이 뭘까?

추가 조건 — 문제 끝에 숨어있던 한 줄

문제 끝에 이런 조건이 있었어.

"y = g(x)의 그래프와 직선 y = k가 만나는 점의 개수가 1이 되도록 하는 자연수 k가 존재할 때"

음… 무슨 말이지? 천천히 풀어볼까?

직선 y = k 는 가로선이야. k 값에 따라 위로 올라갔다 내려갔다 하는 가로선이지.

이 가로선이 g(x) 그래프와 딱 1번만 만나는 자연수 k가 존재한다는 거야.

어? 자연수 k 중에 그런 게 있다고?

가로선을 위아래로 움직여보자 ⭐

자, 이건 그림을 보면서 가야 해. 5편에서 그린 g(x) 그래프 다시 떠올려봐.

양쪽 끝(|x| > 1)은 2x² 포물선 두 조각, 위로 쭉쭉 솟아오름 (양 끝 시작값은 2부터)
가운데(|x| < 1)는 f(x) 곡선, 극대·극소를 가진 3차함수
x = ±1 위치엔 채워진 점 (-1, 1)과 (1, 1) 두 개

자, 가로선 y = k 를 자연수 k 값으로 올려보면서 만남 횟수를 세어볼까?

y = k 가로선 시뮬레이션 (k=1, 2, 3, 4)

k = 1일 때: 가로선이 채워진 두 점 (-1, 1)과 (1, 1)을 통과해. 그리고 f(x) 곡선과는 |x|<1 구간에서 2번 만나. 총 4번.

k = 2일 때: 가로선이 (1, 1)과 (-1, 1) 위로 올라갔어. f(x)와는 어떻게 될까? f(x)의 극대점에서 딱 1번 접한다면, 그 1번만 만나~ (2x² 포물선은 |x|>1이라 y=2 위치엔 빈 점이라 안 만남.) 총 1번 ★

k = 3일 때: f(x) 영역과는 안 만남. 2x² 포물선과 양쪽으로 2번 만남. 총 2번.

k = 4일 때: 마찬가지로 2x² 포물선과 2번. 총 2번.

자연수 k 중에서 정확히 1번 만나는 건 k = 2 뿐이야~

결정타 — f(x)의 극댓값은 정확히 2

자, k = 2일 때 정확히 1번 만나려면 어떤 조건이 필요했지?

f(x)의 극대점에서 가로선 y = 2 가 정확히 접해야 한다는 거였어.

다시 말해서 — f(x)의 극댓값이 정확히 2여야 해!

만약 극댓값이 2보다 크다면? k=2일 때 가로선이 극대점을 지나가서 f(x)와 2번 만나게 돼. 1번이 아니지.

만약 극댓값이 2보다 작다면? k=2일 때 가로선이 f(x)보다 위에 있어서 안 만나. 만남 0번.

딱 극댓값 = 2 일 때만, k=2 가로선이 극대점에서 접하면서 정확히 1번 만남이 성립하는 거야~

대박이지~ 추가 조건 한 줄에서 결정적 정보가 빠져나왔어!

✨

딱 극댓값 = 2 일 때만, k=2 가로선이 극대점에서 접하면서 정확히 1번 만남이 성립

a = 3√3 — 미지수 잡기

이제 f(x)의 극댓값 = 2 라는 식을 풀어서 a 값을 구해보자.

f(x) = ax³ - ax 이니깐, f'(x) = 3ax² - a = a(3x² - 1).

f'(x) = 0 이면 x = ±1/√3 = ±√3/3.

극댓값은 x = -√3/3 에서 나와 (a > 0 이라고 했으니깐).

f(-√3/3) = 2 풀이로 a = 3√3 도출

f(-√3/3) 을 계산해서 2와 같다고 놓으면…

a = 3√3 이 딱 나와!

그래서 f(x) = 3√3 · x · (x² - 1) 로 완전히 결정됐어~

답 계산 — 4단 변신로보트의 진짜 활용!

자, 이제 진짜 답을 계산할 차례야.

문제가 묻는 건 g(-1/2) × g(2) 이지?

여기서 5편에서 배운 4단 변신로보트가 진가를 발휘해!

-1/2 은 |x| < 1 이지? 그러면 변신 ② 가 적용돼. 즉 g(-1/2) = f(-1/2) 야.

f(-1/2) = 3√3 · (-1/2) · ((-1/2)² - 1)
= 3√3 · (-1/2) · (-3/4)
= 9√3 / 8

2는 |x| > 1 이지? 그러면 변신 ① 이 적용돼. 즉 g(2) = 2 · 2² = 8

최종 답:

최종 답 박스: g(-1/2) × g(2) = 9√3

g(-1/2) × g(2) = (9√3 / 8) × 8 = 9√3

정답 5번~ 와~ 4단 변신로보트로 깔끔하게 답까지 나왔어!

합성함수와 친해지기 시리즈, 안녕~

이렇게 합성함수와 친해지기 시리즈 6편이 모두 끝났네~

함께 걸어온 길을 한 번 돌아볼까?

1편: 합성함수 그리기 ▼

N축 대신 개미의 눈으로 직관적으로 합성함수 그래프를 그리는 법을 배웠어.

2편: 합성함수 미분 ▼

체인룰과 라이프니츠 표기법의 의미를 파헤쳤지!

3편: 합성함수 미분가능성 ▼

부드럽게 꿰매는 법, 첨점과 미분가능성의 관계를 알아봤어.

4편: 치환적분 ▼

치환적분이 왜 합성함수 미분의 거울인지 확인해봤지.

5편: 4단 변신로보트 ▼

그래프 완성! 단 하나의 식이 만들어낸 우아한 그래프의 매력을 감상했지.

6편: 실전 정복 (오늘!) ▼

추가 조건을 해석해서 가로선 시뮬레이션을 하고 미지수를 구한 뒤 최종 답을 냈어!

어땠어? 처음엔 합성함수가 좀 낯설었지? 그런데 이제는 좀 친해진 것 같아?

특히 오늘 본 2026 3월 교육청 28번 문제는 출제자의 센스가 정말 빛나는 문제였어. 4단 변신로보트, 진동이 사라지는 마법, 그리고 가로선 한 줄로 미지수를 잡는 우아함까지~ 수능 출제진의 내공이 느껴지는 문제였지.

수학이 단지 답을 맞히는 게 아니라, 이런 우아한 구조를 발견하고 음미하는 학문이라는 걸 다시 한 번 느꼈네~

다음 편은 또 재미있는 걸로 준비할께~

안녕~

[합성함수와 친해지기_004] 치환적분, 어렵다고? 합성함수 미분 거꾸로일 뿐이야(featr.라이프니쯔)

fafamath — Sat, 16 May 2026 19:45:29 +0900

[합성함수 4편] 치환적분, 어렵다고? 합성함수 미분 거꾸로일 뿐이야

1. 도입 — 치환적분, 어렵다고? 그래도 가보자~

오늘은 치환적분법(2nd) 시간이야. 합성함수와 친해지기 시리즈 네 번째 편.

자~ 아빠가 먼저 솔직히 말할게. 치환적분, 사실 어려워. 1등급 학생들도 긴가민가 하는 내용이야. 그래도, 우리 한번 도전해보자~. 아빠가 옆에서 한 단계씩 같이 가줄 테니까 부담 가질 거 없어.

그리고 미리 살짝 귀띔하면, 오늘의 진짜 메시지는 이거야.

"치환적분법은 새로운 기술이 아니야. 2편에서 배운 합성함수 미분을 거꾸로 돌린 것뿐이야."

지금은 무슨 말인지 몰라도 돼. 끝까지 따라오면 자연스럽게 보일 거야. 자, 시작하자~

2. 맛보기 예제 — 가장 전형적인 치환적분 문제

자, 가장 전형적인 치환적분 문제 하나를 풀어보자~

$$\int 2x(x^2+1)^3 \, dx$$

음... 이거 어떻게 풀까? 그냥 전개하려면? $(x^2+1)^3$을 다 풀어서 $x^6 + 3x^4 + 3x^2 + 1$ 만들고, 거기에 $2x$를 곱하고, 항별로 적분해야 해. 어휴, 손이 아프지~

근데 치환적분을 쓰면? $x^2+1$을 통째로 $t$로 바꿔버리는 거야. 이게 핵심이야.

근데 잠깐. 같은 문제를 두 가지 방법으로 풀 거야. 왜? 한국 교과서가 가르치는 방식이 있고, 라이프니츠 본인이 쓰던 정통 방식이 따로 있거든. 둘 다 풀어보고 어떤 게 더 깔끔한지 직접 비교해보자.

3. 풀이 1 (한국식) — 일단 학교에서 배운 대로

학교에서 배웠을 방식대로 먼저 풀어보자.

Step 1. 치환할 부분을 정해.

$$t = x^2 + 1$$ Step 2. 양변을 $x$로 미분해.

$$\frac{dt}{dx} = 2x$$ Step 3. $\frac{dt}{dx}$를 분수처럼 떼서 $dx$를 옮겨.

$$dt = 2x \cdot dx$$

여기서 학생이 보통 멈칫해. "$\frac{dt}{dx}$가 분수가 아니라고 그랬는데... 왜 분수처럼 떼는 거야?" 하고. 선생님은 보통 "라이프니츠 표기의 편의성이야"라고만 하시지. 학생은 찝찝하지만 그냥 넘어가.

Step 4. 원래 식에 대입해서 정리.

$$\int 2x(x^2+1)^3 \, dx = \int t^3 \, dt = \frac{t^4}{4} + C = \frac{(x^2+1)^4}{4} + C$$

답은 깔끔하게 나왔어. 그런데 Step 3에서 "왜 분수처럼 떼도 되지?"라는 찝찝함이 평생 남아. 답답하지~? 아빠도 학교 다닐 때 그게 답답했어.

⭐ 4. 풀이 2 (라이프니츠 정통식) — 아빠가 강력 추천!

이번엔 라이프니츠 본인의 방식으로 풀어보자. 처음엔 좀 낯설어도, 한 번 익숙해지면 훨씬 빠르고 깔끔해. 아빠 피셜.

Step 1. 치환할 부분을 정해. (여기까진 똑같아)

$$t = x^2 + 1$$ Step 2. 자, 여기가 결정적인 부분이야. 양변을 각자의 변수로 미분해.
• 왼쪽 $t$의 변수는 $t$니까 → $t$로 미분 → $dt$
• 오른쪽 $x^2+1$의 변수는 $x$니까 → $x$로 미분 → $2x \cdot dx$

원래 두 변이 등호로 묶여 있었으니, 미분한 결과도 그대로 등호로 묶여.

$$dt = 2x \cdot dx$$ 끝. Step 3 없어. 분수 떼고 어쩌고 하는 인위적인 단계가 사라졌어. 처음부터 양변을 각자 미분해서 등식으로 만든 거야. 깔끔하지? Step 3. 원래 식에 대입.

$$\int 2x(x^2+1)^3 \, dx = \int t^3 \, dt = \frac{(x^2+1)^4}{4} + C$$

답은 똑같이 나와. 그런데 3단계로 깔끔하게 끝났어. 한국식은 4단계였잖아? 찝찝함 없이~.

자~ 이게 라이프니츠 정통식이야. 등식이 있으면 "양변을 각자의 변수로 미분", 이것만 기억해. 음함수 미분, 매개변수 미분, 그리고 오늘 배우는 치환적분까지 — 전부 이 한 가지 원리로 풀려.

5. 핵심 — "2x는 사라진 게 아니야. dx와 결혼했어!"

자, 이제 진짜 핵심으로 들어가자. 풀이 보면서 이런 의문 들지 않았어?

"$\int 2x(x^2+1)^3 \, dx$가 $\int t^3 \, dt$로 바뀌었는데... $2x$는 어디 갔어? 그냥 사라진 거야? 그래도 돼?"

이 질문, 정말 좋은 질문이야. 사라진 게 아니거든. 결혼한 거야^^

먼저 $dx$의 정체부터. 대부분 학생들은 $\int f(x) \, dx$에서 $dx$를 "이게 적분의 끝 표시구나" 정도로만 봐. 그런데 라이프니츠는 그렇게 안 봤어.

라이프니츠 관점에서 $dx$는 "$x$가 아주 미세하게 변하는 양"이야. 그래서 $f(x) \cdot dx$는 "높이 × 미세 가로폭" = 미세한 직사각형의 넓이가 되고, $\int$는 그 미세 직사각형들을 다 더하는 거야. 즉, $dx$는 표기가 아니라 진짜로 곱해지고 있는 양이야. 이걸 받아들이는 게 출발점이야.

그럼 이제 원래 식을 다시 보자.

$$\int (x^2+1)^3 \cdot 2x \cdot dx = \int \underbrace{(x^2+1)^3}_{t^3} \cdot \underbrace{2x \cdot dx}_{dt}$$

뭐가 보여? $2x$랑 $dx$가 따로따로 있는 게 아니야. 둘이 합쳐서 $dt$ 한 덩어리야. 라이프니츠 정통식에서 $dt = 2x \cdot dx$로 한 번에 구했잖아? 그게 여기서 그대로 쓰여.

그러니까 $2x$는 사라진 게 아니야. $dx$랑 결혼해서 $dt$가 된 거야^^

마치 $\text{H}_2$랑 $\text{O}$가 합쳐져서 $\text{H}_2\text{O}$가 되듯이. 분자 안에 수소 원자가 안 보인다고 사라진 게 아니지?

이 한 줄을 평생 기억하면 돼.

"치환적분에서는 $g'(x) \cdot dx$가 통째로 $dt$로 변신한다" ⭐

6. 검산해보자 — 그런데 어, 합성함수 미분이잖아?

답이 진짜 맞나? 검산해보자. 적분의 검산은 미분이야. 답을 미분해서 원래 식이 나오면 맞는 거지.

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{(x^2+1)^4}{4}\right] = \frac{4(x^2+1)^3 \cdot 2x}{4} = (x^2+1)^3 \cdot 2x$$

오~ 원래 식이랑 정확히 같지? 검산 성공!

근데 잠깐. 이 미분 과정 어디서 본 적 있지 않아? $\frac{(x^2+1)^4}{4}$를 미분했더니 $(x^2+1)^3 \cdot 2x$가 나왔어. 이거... 2편에서 배운 합성함수 미분이잖아?

합성함수 미분: $\frac{d}{dx} F(g(x)) = f(g(x)) \cdot g'(x)$

여기서 $g(x) = x^2+1$, $g'(x) = 2x$. 똑같지?

그래서 결론은 이거야.

치환적분 = 합성함수 미분의 거울

치환적분이 새로운 기술이 아니야. 2편에서 배운 합성함수 미분을 거꾸로 돌린 것일 뿐이야. 거울에 비친 모습이라고 보면 돼. 도입에서 말한 진짜 메시지가 바로 이거야.

2편 다시 한번 펼쳐봐. 4편이 그걸 거꾸로 한 거란 게 보일 거야.

✨ 7. 마법은 언제 일어나? — $g'(x) \cdot dx$가 있을 때만

근데 한 가지 더. 치환적분이 마법처럼 깔끔히 풀린 건 사실 운이 좋아서야. 어떤 운? 식 안에 $2x$가 마침 들어있었거든.

만약에 누가 이 문제를 줬다고 해봐.

$$\int (x^2+1)^3 \, dx \quad \text{(앞에 }2x\text{가 없어!)}$$

학생: "어? 그럼 $t = x^2+1$로 치환하면 되겠네!"

해보자. $dt = 2x \cdot dx$니까 $dx = \frac{dt}{2x}$. 대입하면:

$$\int t^3 \cdot \frac{dt}{2x}$$

어? $2x$가 분모에 남아버려. 그리고 이건 $t$로만 표현할 수도 없어. 막혔어. 이런 건 치환적분으로 안 돼.

그러니까 치환적분이 "마법처럼" 작동하려면, 원래 식 안에 $g'(x) \cdot dx$가 통째로 들어 있어야 해. 그게 있어야 $dt$로 깔끔히 바뀌거든.

치환적분의 기본형은 이거야.

$$\int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = \int f(t) \, dt \quad (\text{단, } t = g(x))$$

문제 보고 "이거 치환이 통할까?" 판단할 때, 식 안에 합성함수 안쪽 $g(x)$의 도함수 $g'(x)$가 끼워져 있는지 확인해. 있으면 치환적분, 없으면 다른 방법(부분적분 또는 직접 전개).

8. 마무리 — 2:2 데이트, 진짜 커플은 따로 있어!

자~ 정리하자. 오늘 핵심은 두 줄이야.

첫째, 라이프니츠 정통식: "등식 양변을 각자의 변수로 미분". 음함수, 매개변수, 치환적분 다 같은 원리. 둘째, 치환적분의 정체: 합성함수 미분의 거울. $g'(x) \cdot dx$가 통째로 $dt$로 변신.

여기서 아빠가 한 가지 더 짚어볼게. 적분법에는 또 하나 친구가 있지? 부분적분법.

치환적분법은 어디서 왔다고? 합성함수 미분에서 왔어. 그럼 부분적분법은? 곱미분에서 왔지. (이건 22강에서 본격적으로 다룰 거야)

$$\text{부분적분} \longleftrightarrow \text{곱미분: } (fg)' = f'g + fg'$$

$$\text{치환적분} \longleftrightarrow \text{합성함수 미분: } (F \circ g)' = f(g) \cdot g'$$

표로 정리하면 이렇게 돼.

적분법	진짜 짝(커플)	짝꿍 함수
치환적분	합성함수 미분 (F∘g)' = f(g)·g'	합성함수
부분적분	곱미분 (fg)' = f'g + fg'	곱함수

그래서 이 네 명이 자주 같이 다녀. "치환적분 + 부분적분"이 짝지어 나오면, 뒤에는 "합성함수 미분 + 곱미분"이 받쳐주고 있는 거야. 말하자면 2:2 데이트 같은 거지^^

근데 헷갈리면 안 돼. 치환적분의 진짜 짝은 합성함수 미분이고, 부분적분의 진짜 짝은 곱미분이야. 네 명이 함께 다녀도, 진짜 커플은 따로 있어^^

여기까지 따라왔으면 정말 잘한 거야. 1등급도 헷갈리는 부분을 끝까지 봤잖아? 다음 5편에서는 분수꼴 등비수열의 극한이 합성함수를 어떻게 변신로보트처럼 표현하는지 다뤄볼게. 또 만나~

[합성함수와 친해지기_003] 합성함수 미분가능성, 꿰매기와 이어붙이기로 구분하면 쉽다

fafamath — Tue, 5 May 2026 17:34:02 +0900

합성함수와 친해지기 003

꺾인 점에서도 매끄러울 수 있다고? 꿰매기와 이어붙이기

← 2편 (라이프니츠식 미분) | 3편 | 4편 (치환적분) → (Coming Soon)

들어가며 — 1편의 떡밥, 드디어 회수한다

오늘은 합성함수와 친해지기 시리즈 3편이야. 자, 1편에서 아빠가 뭐라고 했지? "꺾인 점은 미분 불가야. 좌미분계수와 우미분계수가 다르니까." 2편에서는 또 뭐라고 했지? "체인룰은 변화의 릴레이야. f(x)가 휘청이면 q(x)도 따라 휘청여."

근데 아빠가 오늘 좀 이상한 이야기를 하나 할게. "f(x)도 꺾이고 g(x)도 꺾이는데, 둘을 합쳐 놓은 q(x)는 매끄럽다" — 이게 가능하다는 거야. 헛!!!! 어떻게? 그게 오늘의 주제야. 이름하여 "꿰매기".

두 함수의 꺾임이 정확히 반대 방향으로 상쇄될 때, 마치 바느질하듯이 두 함수가 서로의 상처를 꿰매준다.

오늘은 이 꿰매기의 정체를 파고들어보고, 마지막엔 2026학년도 3월 학평 22번을 함께 풀어볼 거야. 거기서 "꿰매기"의 쌍둥이 형제 — "이어붙이기" 도 만나게 될 거야. 둘은 비슷해 보이는데 메커니즘이 완전히 달라. 시작하자~

꿰매기란? — 좌·우 미분계수의 차이가 사라지는 순간

자, 가장 단순한 예부터. f(x)와 g(x) 둘 다 x = a에서 꺾이는 함수라고 해보자. 1편에서 우리는 이런 함수들이 "미분 불가"라고 결론 내렸지. 좌미분계수와 우미분계수가 다르니까.

근데 잠깐. 이걸 더해보면 어떻게 될까? 즉 q(x) = f(x) + g(x) 의 좌·우 미분계수를 따져보자.

q의 좌미분계수: f의 좌미분계수 + g의 좌미분계수
q의 우미분계수: f의 우미분계수 + g의 우미분계수

자, 이제 핵심. f의 좌·우 미분계수 차이가 +5이고, g의 좌·우 미분계수 차이가 −5라면? q의 좌·우 미분계수 차이는 +5 + (−5) = 0. 즉 q는 미분가능해진다는 뜻이야.

f의 차이 +6, g의 차이 −6 → 합치면 0. 꺾임이 사라진다.

꿰매기: 두 함수가 같은 점에서 똑같은 크기로, 서로 반대 방향으로 꺾여 있을 때, 합쳐 놓으면 꺾임이 상쇄되어 매끄러워지는 현상.

마치 두 함수가 서로 손을 내밀어 상처를 꿰매주는 것처럼 말이야. 이름이 "꿰매기"인 이유야.

핵심 공식 — "편차 m + n = 0"

자, 이제 이 직관을 수식 한 줄로 박제해보자. 라이프니츠 정통(2편에서 한참 우려먹었지)을 다시 꺼내자.

g(x)가 x = a에서 미분불가능하다는 걸 가장 깔끔하게 표현하는 방법은:

쉽게 말해, "좌극한 미분계수 k에 편차 m이 보태져서 우극한 미분계수가 된다" 는 거야.

마찬가지로 f(x)도 같은 점에서 꺾인다면:

자, 이제 q(x) = f(x) + g(x)의 좌·우 미분계수를 구해보자.

좌·우가 같으려면? n + m = 0! 이게 끝이야.

상황	수식 표현	의미
g(x)의 꺾임	g'(a⁺) − g'(a⁻) = m	g의 편차 m
f(x)의 꺾임	f'(a⁺) − f'(a⁻) = n	f의 편차 n
q = f + g가 매끄럽기	m + n = 0	편차가 반대 방향으로 같다

말로 풀면 이거야: "q(x)가 x = a에서 미분가능하려면, g의 좌·우 편차만큼 f의 좌·우 편차가 정확히 반대 방향으로 생기면 된다." 라이프니츠도 이걸 보면 무릎을 탁 칠 거야. 편차의 합 = 0. 한 줄로 미분가능성을 환원해버렸어.

실전 — 2026학년도 3월 학평 22번

자, 이제 진짜 문제로 가보자. 2025년 3월 26일에 시행된 2026학년도 3월 학력평가 공통 22번. 정답률 5.7%짜리 킬러문제야.

[2026학년도 3월 학평 22번]

삼차함수 f(x)에 대하여 함수 g(x)를 다음과 같이 정의하자. 함수 g(x)가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, f(−5) 의 값을 구하시오. [4점]

자, 이 문제를 보면 미분불가능이 발생할 가능성이 있는 점이 두 군데야. 어딘 줄 알아?

x=0(이어붙이기) / x=2(꿰매기) 두 핵심 지점

구분	꿰매기	이어붙이기
발생 원인	함수 자체의 꺾임 (절댓값 등)	구간 분리점에서 다른 식이 만남
조건	두 함수의 편차 m + n = 0	좌·우 식의 값·미분계수 일치
본 문제 적용	x = 2 (\|2x²−8\|의 꺾임)	x = 0 (구간 정의의 분리점)
느낌	두 상처가 서로 꿰매줌	다른 천 두 장을 매끄럽게 잇기

4-1. x = 2 — 꿰매기로 해결

먼저 메인 디시 x = 2부터. 우측 식 |f(x)| − |2x² − 8|을 봐. 여기서 |2x² − 8|은 2x² − 8 = 0이 되는 x = ±2에서 꺾여. x = 2 근처를 보면, 2x² − 8이 음수에서 양수로 바뀌니까 절댓값이 풀리면서 꺾임이 발생.

x = 2에서 |2x² − 8|의 좌·우 미분계수를 계산해보자. 미분하면 4x인데, 절댓값이 풀리는 방향에 따라 부호가 바뀌어:

좌미분계수: −4·(2) = −8 (왼쪽에서 음수라 부호 반전)
우미분계수: +4·(2) = +8

따라서 −|2x² − 8|의 편차는 (−(+8)) − (−(−8)) = −8 − 8 = −16 이야. 즉 g(x)의 −|2x² − 8| 부분이 x = 2에서 편차 −16의 꺾임을 만들어내고 있어.

이걸 꿰매려면? |f(x)|가 x = 2에서 정확히 편차 +16의 꺾임을 만들어줘야 해. 그래야 −16 + (+16) = 0이 되어 매끄러워지니까.

|f(x)|가 x = 2에서 꺾이려면 f(2) = 0 이어야 해. 그리고 |f(x)|의 좌·우 미분계수 차이가 +16이 되려면, f'(2)의 절댓값의 두 배가 16이어야 하니까 |f'(2)| = 8. 부호까지 맞추면:

4-2. x = 0 — 이어붙이기로 해결 (꿰매기 ❌)

자, 이제 잠깐. x = 0에서도 미분불가능 가능성이 있어. 근데 헛!!! 여기서 일어나는 일은 꿰매기가 아니야. x = 0은 g(x)의 구간 분리점이야. 왼쪽은 −f(x), 오른쪽은 |f(x)| − |2x² − 8|이 만나는 지점. 두 식이 매끄럽게 이어지려면 값과 미분계수가 같아야 해. 이걸 "이어붙이기" 라고 부르자.

x = 0에서 이어붙이기 조건을 풀어보자. x = 0 근처에서 우측 식은 |f(x)| − 8.

함숫값이 같아야 하니까: −f(0) = |f(0)| − 8. 여기서 f(0) = 4 가 나와.

이제 미분계수 일치. x = 0 근처에서 f(0) = 4 > 0이니까 |f(x)| = f(x)야.

좌측 미분계수: −f'(0)
우측 미분계수: f'(0)

같아야 하니까 −f'(0) = f'(0) → f'(0) = 0.

4-3. 조건식 4개로 f(x) 결정

조건식 4개 (f(0)=4, f'(0)=0, f(2)=0, f'(2)=−8)를 f(x) = ax³ + bx² + cx + d에 대입해서 풀면:

마지막으로 f(−5)를 계산하면:

답은 154 야. 정답률 5.7%? 꿰매기와 이어붙이기를 구분할 줄 알면 그렇게 어렵지 않아. 개미의 눈으로 차분히 따라가 보면 길이 보여.

곱셈 꿰매기? — 한 줄 미리보기

꿰매기는 덧셈 합성에만 있는 게 아니야. 곱셈 합성으로도 꿰맬 수 있어. 그땐 편차비율 m × n = 1 이어야 해. 기출이 아직 없어서 변별력이 어마어마할 거야. 5편 변신로보트 편에서 다시 만나자.

정리 — 꿰매기와 이어붙이기, 다음 편 떡밥

꿰매기: 두 함수가 같은 점에서 반대 방향으로 똑같이 꺾이면, 합쳐 놓은 함수는 매끄러워진다 — 편차 m + n = 0

이어붙이기: 구간 분리점에서 두 다른 식이 만날 때, 값과 미분계수가 일치해야 매끄럽다 — 메커니즘이 완전히 다름

이 두 개를 구분할 줄만 알면 미분가능성 문제는 더 이상 무섭지 않아. 오늘 우리는 두 함수를 꿰매서 매끄럽게 만드는 법을 배웠어. 근데 만약 거꾸로라면? 매끄러운 함수를 일부러 쪼개서 풀어내는 방법도 있지 않을까?

헛!!!! 그게 바로 다음 편 — 4편의 주제야.

← 2편 (라이프니츠식 미분) | 3편 | 4편 (치환적분) → (Coming Soon)

[합성함수와 친해지기 002 ] 합성함수 미분, 라이프니츠 정통 사용법으로!

fafamath — Tue, 5 May 2026 16:07:41 +0900

합성함수와 친해지기 002

합성함수 미분, 라이프니츠 정통 사용법으로! — 치환 없이 1 곱하기로 끝

← 1편 (합성함수 그리기) | 2편 | 3편 (미분가능성·꿰매기) → (Coming Soon)

들어가며 — 어둠의 스킬, 시즌 2

지난 1편에서 우리는 합성함수를 그렸지. 기억나니? 대치동에서 유행한다는 "N축"이라는 어둠의 스킬을 살펴보고, 아빠는 솔직히 별로라고 했어. 왜? "개미의 눈"으로 보면 그냥 보이는 걸, 굳이 N축이라는 새 좌표계를 만들어서 외우게 하는 게 아빠는 마음에 안 들었거든.

오늘은 두 번째 어둠의 스킬을 만나보려고 해. 그런데 이번 건 좀 달라. 이건 진짜 마법사가 직접 만든 거거든. 누구냐고? 고트프리트 라이프니츠(Leibniz). 우리가 지금 쓰는 미적분의 절반을 만든 사람이야. 뉴턴이랑 동시대에 미적분을 만들었지.

오늘 다룰 주제는 합성함수의 미분이야. 학교에서는 보통 이렇게 가르쳐:

$$ \{f(g(x))\}' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$

외우라고? 아빠는 그렇게는 안 해. 오늘 끝날 때쯤 너는 이 공식을 외우는 게 아니라 그릴 수 있게 될 거야. 그리고 학교에서 가르치는 '치환해서 푸는 방법'이 사실은 본질이 아니라는 것도 알게 될 거야. 라이프니츠는 치환 없이 더 단순하게 풀었거든.

함수의 합성을 가장 직관적으로 보여주는 그림. f가 x를 y로 옮기고, g가 y를 z로 옮긴다.

오늘의 스타 — dx, 그리고 분필가루로 박제된 테니스라켓

본론 들어가기 전에, 오늘의 스타부터 소개할게. 바로 dx야.

지난번 "미분한다는 것은 뭘까?" 포스트랑 "미분의 끝판왕" 포스트에서 아빠가 말했지? dx는 그냥 아주 아주 작은 변량이라고. "x에 0.001을 더한 특수한 값" 같은 거. 정확히는 무한소(infinitesimal)라고 부르는데, 0은 아니지만 0에 한없이 가까운 양이야. 라이프니츠가 직접 도입한 개념이지.

그런데 아빠가 며칠 전에 유튜브에서 본 영상 하나가 너무 인상적이었어. 초고속 카메라로 찍은 거였는데, 분필 가루를 잔뜩 묻힌 테니스라켓을 탕! 하고 휘둘렀을 때, 라켓은 이미 휙 지나갔는데 분필 가루는 라켓이 있던 자리에 라켓 모양 그대로 허공에 둥~ 떠 있는 거야. 관성 때문이지. 아주 짧은 찰나의 순간, 라켓 모양의 분필 유령이 공중에 박제된 것처럼 떠 있다가 흩어져버리더라.

아빠는 그걸 보면서 "아, 이게 dx구나" 싶었어.

그런데 잠깐 — d 뒤에는 뭐든 붙을 수 있어

여기서 한 발짝 더 나가야 해. 학생들이 가장 많이 오해하는 게 이거거든. "무한소는 dx, dy, dt 같은 변수에만 붙는다"고 생각하는 거. 아니야. 잘 봐.

어떤 양 $A$가 흔들릴 때, 그 흔들린 양을 보통 $\Delta A$(델타 A)라고 써. 그리고 그 흔들림이 거의 0에 가까울 만큼 아주아주 작아지면? 그게 바로 $dA$ 야.

Δ (변량)	→	d (무한소)
Δx	→	dx
Δy	→	dy
Δt	→	dt
Δf(x)	→	df(x)
Δg(x)	→	dg(x)
Δ(x²)	→	d(x²)
Δ(sin x)	→	d(sin x)

함수값도 결국 양이잖아. x가 흔들리면 $f(x)$도 흔들리고, $g(x)$도 흔들리고, $x^2$도 흔들리고, $\sin x$도 흔들려. 그 흔들림이 거의 0에 가까우면 $df$, $dg$, $d(x^2)$, $d(\sin x)$ 가 되는 거야. 전부 무한소.

이거 알아두면 미분 공식이 다 그림으로 보여. 그리고 dx, dy, dt 뿐 아니라 $df$, $dg$도 그냥 변수처럼 사칙연산이 된다는 게 오늘 핵심이야. 이항도 되고, 곱하기·나누기도 되고, $1=\frac{dg}{dg}$ 같은 트릭도 자유야. 딱 하나 예외가 곱미분인데, 그건 마지막에 다시 이야기할게.

자, 이제 이 분필가루를 굴려보자.

변화의 릴레이 — 한 줄짜리 직관

합성함수 $y = f(g(x))$를 미분한다는 게 뭘까?

박스를 위아래로 두 개 쌓았다고 생각해봐. 위 박스는 $g$, 아래 박스는 $f$. 맨 위에서 $x$를 떨어뜨리면, 먼저 $g$ 박스를 통과하면서 $g(x)$로 바뀌고, 그게 다시 $f$ 박스를 통과하면서 $f(g(x))$가 돼.

그럼 미분은? $x$를 아주 살짝 흔들었을 때, 맨 아래 결과값이 얼마나 흔들리는지를 보는 거야. 그런데 $x$가 흔들리면 곧바로 결과값이 흔들리는 게 아니야.

x 흔들

→

g 흔들

→

f 흔들

릴레이야. 변화의 릴레이. $x$의 흔들림은 먼저 $g$를 흔들고, 그 흔들린 $g$가 다시 $f$를 흔든다. 1편에서 말한 "개미의 눈"으로 보면 이게 그냥 보여. 외울 필요가 없어.

그래서 결론이 뭐가 될까? $g$가 흔들린 양 곱하기 $f$가 흔들린 양, 이렇게 곱해진다는 거야. 왜 곱이냐고? 릴레이니까. 첫 번째 주자가 1배 빨리 뛰면 두 번째 주자도 그만큼 빨리 출발하잖아. 효과는 곱해지는 거지.

합성함수 예제. f∘g와 g∘f가 다르다는 것 — 합성은 순서를 바꾸면 답이 바뀐다.

라이프니츠 표기법 — $\frac{d}{dx}f(x)$ 의 정체

❓ 흔한 의문

학교 책 보면 $f'(x)$를 라이프니츠식으로 $\frac{d}{dx} f(x)$ 이렇게 쓰는 거 본 적 있을 거야. "왜 $\frac{d}{dx}$ 가 함수 앞으로 튀어나와 있지?" 하는 의문이 들 거야.

비밀은 별 거 없어. 이건 사실 이렇게 쓴 거랑 똑같아:

$\frac{d}{dx}f(x)$ 의 정체. 사실은 $\frac{df(x)}{dx}$를 보기 좋게 분리해서 쓴 것뿐이다.

분필가루 $df(x)$가 분자에 있다는 게 맞아. 그냥 적기 편하게 $\frac{d}{dx}$ 와 $f(x)$ 를 분리해서 옆에 둔 것뿐이지.

본질은 "f(x)의 무한소를, x의 무한소로 나눈 비율"이야.

이걸 알면 합성함수 미분이 너무 쉬워져. 우리가 구하려는 게 뭐였지?

$$ \{f(g(x))\}' = \frac{d}{dx} f(g(x)) = \frac{df(g(x))}{dx} $$

그래. 그냥 $f(g(x))$ 의 무한소를 x의 무한소로 나누는 거야. 이게 미분의 정체.

라이프니츠 정통 풀이 — 치환은 사실 필요 없다

이제 진짜 마법을 보여줄게. 치환 없이, 그냥 분수 조작만으로 합성함수 미분 공식이 튀어나오는 걸 직접 봐.

우리가 구하려는 건 $\frac{df(g(x))}{dx}$ 야. 여기서 마법을 부린다. 1을 곱해. 어떤 1? $\frac{dg(x)}{dg(x)}$ 이런 1.

라이프니츠 정통 풀이의 핵심 3단계. 1을 곱하고, 분수의 곱셈 규칙으로 분모 자리 바꾸기. 치환 없이 합성함수 미분 공식이 그대로 튀어나온다.

원식: $\frac{df(g(x))}{dx}$
1을 곱한다: $\frac{dg(x)}{dg(x)} = 1$
분수의 곱은 분자끼리·분모끼리, 곱셈 순서는 무관이므로 분모 자리 바꾸기
두 분수의 곱으로 다시 쪼개면 합성함수 미분 공식 완성

학교에서 흔히 쓰는 치환식 (손가락 편의) ▼

학교에서 시험 풀 때는 치환식 풀이가 더 흔해. 답은 똑같아. 그냥 $g(x)$ 를 매번 쓰는 게 손에 안 익으니까 $g(x) = t$ 로 두고:

$$ \frac{df}{dx} = \frac{df}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}, \quad t = g(x) $$

이렇게 적는 거지. 본질이 아니라 표기 편의. 이거 잊지 마.

학교에서 자주 쓰는 치환 예제. 본질은 표기 편의일 뿐이다.

실전 — 진짜 문제로 굴려보자

[문제]

$f(x) = x^3 - 3x^2$, $g(x) = x^2 + x + 1$ 일 때, $f(g(x))$를 미분하라.

Step 1. 구하려는 건: $\frac{df(g(x))}{dx}$

Step 2. 1을 곱하고 분모 자리 바꾸기: $\frac{df(g(x))}{dg(x)} \cdot \frac{dg(x)}{dx}$

Step 3. 두 조각을 각각 계산.
$\frac{df(g(x))}{dg(x)} = 3g^2 - 6g = 3g(g-2)$
$\frac{dg(x)}{dx} = 2x + 1$

Step 4. 곱하고 $g = x^2+x+1$ 대입

$$ \frac{df(g(x))}{dx} = 3(x^2+x+1)(x^2+x-1)(2x+1) $$

외운 공식 하나 없이, 치환 한 번도 없이, 분필가루 df, dg를 변수처럼 굴려서 답이 나왔지. 이게 라이프니츠 정통 사용법이야.

곱미분과 헷갈리지 마라 — 곱은 더하고, 합성은 곱한다

자, 이제 마지막. 이게 제일 중요해. 학생들이 가장 많이 틀리는 게 합성함수 미분과 곱함수 미분을 헷갈리는 것이거든.

구분	식	미분
함수의 곱	$f(x) \cdot g(x)$	$f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ → 더하기
합성함수	$f(g(x))$	$f'(g(x)) \cdot g'(x)$ → 곱하기

⚠️

2편 인트로에서 아빠가 말했지? '딱 하나 예외가 곱미분이다'라고. 바로 이거야. 곱미분만은 분필가루 규칙이 좀 이상하게 작동해. 그래서 곱미분 공식 하나만은 외워야 해.

라그랑주식 결론 공식. 라이프니츠식의 한 표현일 뿐이다.

마무리 + 다음 편 떡밥

오늘 핵심을 다시 정리하자.

합성함수 미분 = 변화의 릴레이. 효과는 곱해진다.
dx만 무한소가 아니다. df, dg, d(x²) 도 다 무한소.
치환은 본질이 아니다. 1 곱하고 자리 바꾸면 끝.
4️⃣ 곱은 더하고, 합성은 곱한다.

라이프니츠가 위대한 건 단순히 표기를 잘 만든 게 아니야. "미분이라는 행위 자체를 그림으로 보이게 만든 것"이 위대한 거야. $\frac{df(g(x))}{dx}$ 라는 식 하나가, 1을 곱하고 분모 자리 바꾼 것만으로 합성함수 미분 공식을 그대로 토해내잖아.

3편 떡밥

합성함수의 그래프가 꺾여 있으면?
두 함수를 매끄럽게 꿰매는 이야기
(미분가능성)

4편 떡밥

$\frac{df}{dx} \cdot dx = df$ 처럼 양변에 분필가루 매달고 거꾸로 가면?
치환적분 (라이프니츠 거꾸로!)

오늘은 이만~

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[합성함수와 친해지기_001]N축? 갖다 버려. 이제부터는 꺾인 점을 찾아서, 개미의 눈으로 보라!!

fafamath — Mon, 4 May 2026 04:47:15 +0900

N축? 갖다 버려.
이제부터는 꺾인 점을 찾아서,
개미의 눈으로 보라!!

[합성함수와 친해지기_001]

오늘부터 합성함수와 친해지는 시간을 가져 보려고 해.

합성함수가 뭐길래 이렇게 별도 시리즈를 만들 정도일까? 아빠가 이런저런 문제를 풀어보니, 합성함수를 이용한 문제가 꽤 많고, 솔직히 말하면 꽤 어려워. 왜 어렵냐고? 합성함수를 막상 그려 보려고 하면, 잘 안 되거든. 머릿속에 그림이 잘 안 떠올라.

그래서 시리즈 첫 편에서는 "합성함수를 어떻게 그리느냐"를 같이 해 보려고 해.

미리 결론을 말해줄게. N축? 한 번쯤 들어봤을 거야. 대치동 어둠의 스킬이라고. 좋은 도구이긴 한데, 아빠 생각에는 더 본질적인 방법이 있어. "꺾인 점을 찾아서, 개미의 눈으로 본다." 오늘은 이걸 같이 해 볼 거야.

그리고 이 시리즈에는 또 하나의 어둠의 스킬이 깔려 있어. 바로 라이프니츠식 미분. 이건 2편부터 본격 등장해. 지금은 이름만 알아두자.

합성함수의 정의 — "두 단계 변환기"

먼저 합성함수가 뭔지부터 보고 가자. 보통 이렇게 표시해.

y = f(g(x)) — 합성함수의 정의식

이게 무슨 뜻이냐고? 아빠는 학생에게 설명할 때 항상 이런 그림을 떠올려. 위와 아래가 뚫린 박스 두 개를 위아래로 쌓은 모양. 맨 위에서 $x$를 떨어뜨리면, $x$가 첫 번째 박스($g$)를 통과하면서 값이 바뀌고, 그 바뀐 값이 다시 두 번째 박스($f$)를 통과하면서 한 번 더 바뀌는 거지.

여기서 가장 중요한 한 가지가 있어. 잘 들어봐.

$x$가 변한다고 해서, $f$가 곧바로 변하는 건 아니야.

$x$는 일단 $g$를 변화시키고, 그렇게 변화된 $g(x)$가 결국 $f$를 변화시키는 거야.

이건 합성함수의 "정의"에 대한 이야기야. 그래서 합성함수 문제는 결국 "정의"를 묻는 문제이고, 그래서 아빠는 합성함수 문제를 정말 정말 좋은 문제라고 생각해. 무슨 비법이나 잔재주가 통하지 않거든. 정의를 모르면 못 풀어.

가장 단순한 방법 — 0.01씩 다 대입하기 (그러나 노가다)

자, 이제 본론. 합성함수를 어떻게 그리지?

가장 단순한 방법은 이거야. 그냥 $x$에 0.01, 0.02, 0.03... 다 대입해서 $f(g(x))$를 다 구해보는 거.

당연히 가능해. 점을 충분히 많이 찍으면 그래프가 나와. 그런데 어때? 노가다지? 시험장에서 이렇게 풀 시간 없어. 비효율적이야.

그래서 우리가 해야 할 일은 단순해. 노가다를 피하면서도 그래프 모양을 잡는 것. 그러려면 두 가지 아이디어가 필요해.

첫 번째 아이디어 — 꺾인 점만 찾자

그래프의 모양은 사실 꺾인 점들로 결정돼. 직선이든 곡선이든, 변화 패턴이 바뀌는 순간만 잡으면 그 사이는 자연스럽게 연결돼.

여기서 "꺾인 점"을 수학적으로 표현하면:

변화율이 달라지는 점 = 변화 패턴이 달라지는 점

직선에서는 기울기가 바뀌는 점이고, 곡선에서는 증가에서 감소로(또는 그 반대로) 바뀌는 점, 또는 곡률이 바뀌는 점이야. 다 같은 말이야 — "무언가 변화 패턴이 바뀌는 순간".

꺾인 점만 찾으면, 시작점·끝점과 함께 그것들을 대충 연결만 해도 합성함수의 대략적인 모양이 나와. 그리고 시험 문제는 보통 그 정도만 알아도 풀 수 있게 출제돼. 정확히 그릴 필요? 거의 없어.

두 번째 아이디어 — 개미의 눈

이게 진짜 핵심이야. 잘 따라와.

우리가 평소에 그래프를 그릴 때는 자동으로 "왼쪽에서 오른쪽으로" 본다는 전제가 깔려 있어. 예를 들어 $y = x$ 그래프를 보면 우리는 "증가하는 그래프"라고 자동으로 말해.

그런데 잘 생각해 봐. 그게 정말 그 그래프의 본질일까?

그 그래프 위를 기어가는 개미의 입장에서 생각해 보자.

개미가 왼쪽에서 오른쪽으로 가면 → "오르고 있다" → 증가 그래프.
그런데 어느 날 베짱이 친구가 원점에서 "야, 친구야 이리 와봐~"라고 부르면? 개미는 오른쪽에서 왼쪽으로 거꾸로 걸어가야 해. 그 순간 개미는 산을 내려가고 있는 거야. 즉 감소 그래프!

같은 그래프인데, 개미의 진행 방향에 따라 증가도 되고 감소도 되는 거야.

평범한 함수 $f(x)$를 그릴 때는 개미가 왼쪽 → 오른쪽으로만 간다고 봐도 돼. 문제 없어.

그런데 합성함수 $f(g(x))$를 그릴 때는 달라. $f$의 입력자리에 들어가는 게 $g(x)$의 값이잖아? 그런데 $g(x)$의 값은 $x$가 증가해도 증가할 수도 있고, 감소할 수도 있어. $g$가 감소 구간이라면, $f$ 위의 개미는 거꾸로 걸어가야 해.

그래서 합성함수를 그릴 때는 "개미의 진행 방향을 자유롭게 바꿔서 보는 상대적인 눈"이 꼭 필요해. 아빠는 이걸 "개미의 눈"이라고 부를 거야.

두 아이디어를 적용한 정석 — 표로 풀어보기

자, 두 아이디어를 합쳐서 실제 문제에 적용해 보자. 좋은책 신사고 고등수학 교과서 224p에 나오는 문제야.

집합 $X = \{x \mid 0 \le x \le 2\}$에 대해, $X$에서 $X$로의 두 함수 $y = f(x)$, $y = g(x)$가 있다.

$f(x)$는 $\Lambda$자 모양 (0,0)–(1,2)–(2,0)이고, $g(x)$는 $V$자 모양 (0,1)–(1,0)–(2,2)이다.

$y = (f \circ g)(x) = f(g(x))$를 그려라.

좋은책 신사고 고등수학 교과서 224p 합성함수 그래프 문제

자, 표로 풀어보자. 세 행짜리 표를 만들 거야: $x$의 변화율 / $g(x)$의 변화율 / $f(g(x))$의 변화율.

단계	내용
1단계: $x$의 변화율	$0 \to 2$ 단순 증가, 변곡점 없음. 패스.
2단계: $g(x)$의 변화율	$x = 1$에서 꺾임 ($V$자 꼭짓점). $(1, 0)$ 확정.
3단계: $f(g(x))$의 변화율 ⭐	개미의 눈 등장. 구간 ① 패스, 구간 ② 정상 통과 → $(\frac{3}{2}, 2)$ 발견.
4단계: 시작·끝점	$(0, 2)$, $(2, 0)$
5단계: 4점 연결	$M$자 완성

합성함수 그리기 3단계 — 주어진 함수 / 꺾인점 4개 / M자 완성

1단계: $x$의 변화율 체크

$x$는 $0 \to 2$로 단순 증가. 변곡점 없음. 패스.

2단계: $g(x)$의 변화율 체크

$g(x)$는 $V$자라서 $x = 1$에서 꺾여. 그러니까 $x = 1$이 첫 번째 후보 꺾인점.

좌표 계산: $x = 1$일 때 $g(1) = 0$, $f(g(1)) = f(0) = 0$. 그래서 $(1, 0)$ 확정.

이제 $x$ 행에도 $0$과 $2$ 사이에 $x = 1$을 체크 표시해두자.

3단계: $f(g(x))$의 변화율 체크 — 개미의 눈 등장

$x = 1$로 구간이 둘로 나뉘었어. 각 구간에서 $f$ 위에 개미를 올려놓고 확인하자.

구간 ①: $x = 0 \to 1$

$g(x)$는 $g(0) = 1$ 에서 $g(1) = 0$ 으로 감소.
즉, $f$ 위의 개미는 "$1$에서 $0$으로 거꾸로 걷기". 베짱이 친구가 원점에서 부르고 있는 거야.
$f$ 그래프에서 $x = 0$부터 $x = 1$ 구간은 단조 직선이야. 꺾이는 점 없어.
→ 숨은 꺾인점 없음. 패스.

구간 ②: $x = 1 \to 2$

$g(x)$는 $g(1) = 0$ 에서 $g(2) = 2$ 로 증가.
즉, $f$ 위의 개미는 "$0$에서 $2$로 정방향 걷기". 영차영차 산을 오르는 모양.
그런데! $f$ 그래프에서 개미가 $0$에서 출발해서 $2$까지 가는 동안, 중간 $x = 1$에서 정상을 지나잖아? 산을 오르다가 정상을 지나서는 산을 내려와.
→ 숨은 꺾인점 발견! 정상 통과 = 변화 패턴 변화.

시작점·끝점만 보면 구간 ②의 $f(g(x))$는 $0 \to 0$이야.
그래서 "그냥 0에 머물러 있구나"라고 생각하기 쉬워.

하지만 중간에 $g(x) = 1$이 되는 순간, $f$의 정상을 통과해!

숨은 꺾인점 $(\frac{3}{2}, 2)$를 놓치면 안 돼.

이제 그 꺾인점이 합성함수 그래프에서 어디인지 찾아야 해. $g(x) = 1$이 되는 $x$값이 정답이야. $g$가 $0 \to 2$로 직선으로 증가하니까, 정확히 중간 $x = \frac{3}{2}$에서 $g = 1$.

좌표 계산: $x = \frac{3}{2}$일 때 $g(\frac{3}{2}) = 1$, $f(g(\frac{3}{2})) = f(1) = 2$. 그래서 $(\frac{3}{2}, 2)$ 확정.

4단계: 시작점·끝점 체크

$x = 0$: $g(0) = 1$, $f(1) = 2$. → $(0, 2)$
$x = 2$: $g(2) = 2$, $f(2) = 0$. → $(2, 0)$

5단계: 4점 연결

4점 연결: $(0,2) \to (1,0) \to (\frac{3}{2},2) \to (2,0)$

이제 4개 점을 다 모았어:

$(0,\,2) \;\to\; (1,\,0) \;\to\; \left(\frac{3}{2},\,2\right) \;\to\; (2,\,0)$

이 문제는 $f$와 $g$가 모두 직선이라서, 4점을 직선으로 연결하면 정확한 그래프가 나와. $M$자 모양 (좌측이 좀 더 넓은 비대칭 $M$자).

어때? 이게 끝이야. 노가다 없이, 정의역 안에서 변화 패턴이 바뀌는 4개의 순간만 잡았는데, 합성함수 모양이 완성됐어.

그래서 N축은 뭐냐고? 한 번 짚고 가자

여기까지 읽고 "어, 그러면 N축은 왜 있는 거야?"라고 궁금할 수 있어. 짧게 설명할게.

N축은 속함수 $g(x)$를 90도 돌려서 그리는 방법이야. 왜 90도 돌리냐면, $g$의 출력 방향과 $f$의 입력 방향을 시각적으로 일치시키기 위해서. 합성함수가 헷갈리는 진짜 이유 — 출력이 다시 입력으로 들어가야 하는 그 축의 전환 — 을 종이 위에서 해결해주는 영리한 방법이야.

좋은 도구야. 진짜 좋은 도구야. 그런데 아빠가 권하지 않는 이유는 두 가지야.

첫째, 너무 기계적이 되기 쉬워. 정확히 자처럼 그래야 답이 맞는데, 실전에선 그렇게 정확히 그리기 어렵고 시간도 오래 걸려.

둘째, 머릿속에 잔상이 남아. N축 그림이 머리에서 안 사라지고, 평범한 함수 문제도 자꾸 N축으로 보려고 하게 돼.

N축 vs 꺾인 점 + 개미의 눈

도구	장점	단점
N축	직관적, 시각화된 풀이	기계적, 잔상이 남음
꺾인 점 + 개미의 눈 ⭐	도구 불필요, 정의에 충실, 다음 편들과 연결	처음엔 머릿속 시각화 연습 필요

그에 비해 "꺾인 점 + 개미의 눈"은 어때? 도구가 필요 없어. 종이도 거의 안 써. 머릿속에서 직접 "$f$ 위에 개미를 올려놓고 어떻게 걷는지"만 상상하면 돼. 그리고 이 방식은 합성함수의 정의(두 단계 변환)를 그대로 따라가는 방법이라서, 시리즈 다음 편들(미분, 미분가능성, 적분)과도 자연스럽게 연결돼.

그래서 아빠는 이렇게 말할 거야 — N축? 갖다 버려. 꺾인 점을 찾아서, 개미의 눈으로 봐.

정리, 그리고 다음 편 예고

오늘 핵심을 다시 정리하면:

첫째, 합성함수는 두 단계 변환기. $x \to g(x) \to f(g(x))$. $x$가 직접 $f$를 흔드는 게 아니라, $g$를 먼저 흔들고, 그 흔들림이 $f$로 전달.
둘째, 꺾인 점만 찾으면 충분해. 변화 패턴이 바뀌는 순간들 + 시작·끝점만 잡고 연결. 노가다 필요 없음.
셋째, 개미의 눈으로 봐. $g$가 감소하는 구간에서는 $f$ 위의 개미가 거꾸로 걷고 있어. 그 상대적인 시점 전환을 자유자재로 할 줄 알면 합성함수가 정말 쉬워져.

다음 편에서는 본격적으로 합성함수의 미분(체인룰)을 다룰 거야. 그리고 거기서 두 번째 어둠의 스킬, 라이프니츠가 본격 등장해.

$$ \frac{dt}{dt} $$

"$\frac{dt}{dt}$를 곱하는 마법"이라는 게 뭔지 보여줄게. 진짜 신기해.

오늘은 여기까지~ 어때, 합성함수가 살짝 친근해진 것 같아?

[차함수 스킬_002] 직선차함수를 이용하면, 계산량을 80% 줄일 수 있어. 진짜? 진짜!!

fafamath — Wed, 8 Apr 2026 22:13:55 +0900

0. 미용실에서 발견한 수학

아빠가 얼마 전에 미용실에 갔어. 머리를 깎는데, 원장님이 그냥 가위로 자르지 않고 빗을 갖다 대고 가위질을 하더라고. 빗을 머리에 대고, 빗 위로 삐죽 튀어나온 머리카락만 싹둑싹둑 잘라내는 거야.

그 모습을 보면서 문득 이런 생각이 들었어. "어차피 머리카락은 가위가 자르는 건데, 왜 굳이 빗을 갖다 댈까...?"

그러다 갑자기 직선의 차함수가 떠올랐어. 소름...

빗을 대면 뭐가 좋아? 원장님은 빗 아래쪽 머리카락은 신경 쓸 필요가 없어져. 빗 위로 튀어나온 부분에만 집중하면 돼. 그래서 규칙적이고, 깔끔하고, 빠르게 자를 수 있는 거야.

수학에서도 똑같아. 3차함수라는 복잡한 곡선에 직선(1차함수)을 갖다 대면, 직선 아래 부분은 무시하고, 직선 위로 튀어나온 부분에만 집중할 수 있어. 이게 바로 오늘 배울 차함수 스킬이야.

차함수 스킬 한 줄 요약: 복잡한 함수에 직선을 갖다 대면, 계산량이 80% 줄어든다.

1. 차함수 스킬이란? — 빗을 갖다 대는 원리

1-1. 일단 상황을 보자

3차함수 $f(x)$가 있어. 그리고 이 함수의 그래프와 3번 만나는 직선 $g(x)$가 있다고 해보자. 교점이 $x = a, b, c$ 세 곳이야.

이때, $f(x) - g(x)$를 생각해보자. 이 차함수는 $x = a, b, c$에서 값이 0이 돼. 왜? 교점에서는 $f(x) = g(x)$니까, 빼면 당연히 0이지.

그런데 $f(x)$는 3차, $g(x)$는 1차니까 $f(x) - g(x)$는 여전히 3차야. 3차함수인데 근이 $a, b, c$ 세 개? 그러면 이렇게 쓸 수 있어:

$$f(x) - g(x) = h(x-a)(x-b)(x-c)$$

여기서 $h$는 $f(x)$의 최고차 계수야. 양변을 정리하면:

핵심 공식

$$f(x) = h(x-a)(x-b)(x-c) + g(x)$$

차함수 스킬 핵심 공식

3차함수와 직선의 3교점, 그리고 차함수

이게 끝이야. 이 한 줄이 차함수 스킬의 전부야.

1-2. 이게 왜 대단한 건데?

잘 봐. 원래 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ 이런 식이었는데, 이제는 $(x-a)(x-b)(x-c)$라는 거리곱 형태로 바뀌었어. 거리곱이 되면 뭐가 좋냐고? 특정 점에서의 함수값을 구할 때, 그냥 거리를 곱하면 끝이야. 복잡한 전개나 연립방정식이 필요 없어져.

그리고 중요한 건, 이 변환은 항등식이야. 식의 형태만 바꾼 거지, 함수 자체는 그대로야. 그러니까 어떤 계산을 하든 이 형태를 자유롭게 쓸 수 있어.

미용실로 돌아가보자. 빗을 대기 전과 후, 머리카락 자체가 바뀐 건 아니야. 단지 관찰하기가 편해진 것뿐이야. 차함수 스킬도 마찬가지. 함수 자체는 그대로인데, 바라보는 방식만 바꾼 거야.

2. 왜 하필 직선(1차함수)인가?

여기서 궁금할 수 있어. "선생님, 빼는 함수가 꼭 직선이어야 해요? 2차함수를 빼면 안 되나요?"

물론 돼. 이론적으로 0차(상수함수), 1차, 2차 어떤 것이든 빼면 차함수를 만들 수 있어.

빗(직선) 위로 튀어나온 부분 = 차함수

그런데 생각해봐. 미용실에서 빗이 곧아야 깔끔하게 자를 수 있잖아. 구부러진 빗으로 머리를 자르면 오히려 더 복잡해지지 않겠어? 직선은 가장 단순하고, 가장 익숙한 함수야. 기울기와 y절편, 딱 두 개만 알면 완전히 결정돼. 그래서 직선을 빗으로 사용하면 관찰이 가장 편해져.

실전에서도 거의 대부분 1차함수(직선)를 사용해. 그래서 앞으로 "차함수 스킬"이라고 하면, "1차 차함수 스킬"을 말하는 거라고 생각하면 돼. 물론 상수함수(0차)를 사용하는 경우도 있어. 그건 빗 중에서도 가장 단순한 "수평 빗"인 셈이지. 원리는 똑같아!

3. 차함수 스킬의 핵심 공식

자, 정리하자. 3차함수 $f(x)$와 직선 $g(x)$가 $x = a, b, c$에서 만날 때:

이 공식의 각 부분이 뭘 의미하는지 짚어볼게.

부분	의미	미용실 비유
$h(x-a)(x-b)(x-c)$	차함수 (=빗 위로 튀어나온 부분)	잘라야 할 머리카락
$g(x)$	기준 직선 (=빗)	빗 자체
$a, b, c$	교점의 x좌표	빗이 머리에 닿는 점
$h$	최고차 계수	머리카락의 굵기(?)

이 공식을 읽는 법: "f(x)는 직선 g(x)와 a, b, c에서 만나는 3차함수다."

원래 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$라고 쓰면 미지수가 4개(a, b, c, d)야. 조건 4개를 모아서 연립방정식을 풀어야 해. 그런데 차함수 스킬로 바꾸면? 교점 정보가 이미 식에 들어가 있으니까, 남은 미지수가 확 줄어들어. 이게 계산량 80% 감소의 비밀이야.

4. 거리곱 + 보정 = 암산급 계산

4-1. 함수값 구하기

자, 이제 실전이야. 예를 들어볼게.

$f(x)$는 최고차계수가 1인 3차함수이고, 직선 $g(x) = 3x - 2$와 $x = 1, 4, 5$에서 만난다. $f(6)$의 값은?

Step 1

$$f(x) = (x-1)(x-4)(x-5) + (3x-2)$$

차함수 스킬을 적용하여 식을 세웁니다.

Step 2

$$f(6) = (6-1)(6-4)(6-5) + (3 \cdot 6 - 2)$$

$x = 6$을 대입합니다.

Step 3

$$= 5 \cdot 2 \cdot 1 + 16 = 26$$

끝이야. 거리곱 + 보정 = 답. 복잡한 전개나 연립방정식이 필요 없어.

f(6) = 5×2×1 + 16 = 26

x=6에서 각 근까지의 거리곱

만약 차함수 스킬 없이 풀었다면? $f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d$에 $f(1) = 1$, $f(4) = 10$, $f(5) = 13$ 조건을 넣어서 3원 연립방정식을 풀어야 해. 시간 차이가 느껴지지?

항목	무대포 연립	차함수 스킬
식 세우기	$f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d$	$f(x) = (x-1)(x-4)(x-5) + (3x-2)$
필요한 작업	3원 연립방정식 풀기	$x=6$ 대입 한 번
계산 단계	10단계+	3단계
실수 가능성	높음 (연립 과정에서)	낮음 (곱셈 한 번)
소요 시간	5분+	30초

함수값 일반 공식

4-2. 미분계수 구하기

미분계수도 마찬가지야. 같은 예시에서 $f'(5)$를 구해보자.

$f(x) = (x-1)(x-4)(x-5) + (3x-2)$에서, 차함수 부분의 $x=5$에서의 미분계수를 구해야 해. 차함수 $(x-1)(x-4)(x-5)$는 $x=5$에서 값이 0이고, 미분하면 곱의 미분법에 의해 $x=5$에서의 미분계수는:

$$(5-1)(5-4) = 4 \cdot 1 = 4$$

왜 이렇게 되냐고? $(x-1)(x-4)(x-5)$를 미분할 때, $x=5$를 대입하면 $(x-5)$ 항이 포함된 부분은 전부 0이 되고, $(x-5)$가 미분된 항만 살아남거든.

여기에 직선 $g(x) = 3x - 2$의 기울기 3을 더하면:

$$f'(5) = 4 + 3 = 7$$

이것도 거리곱(미분) + 보정(직선 기울기) = 답. 같은 패턴이야.

미분계수 일반 공식

핵심 구조를 정리하면:

이게 차함수 스킬의 기본 프로토콜이야. 빗을 대서 내려가고, 관찰하고, 다시 올라오는 거지.

5. 3차는 무조건 된다!

여기서 좋은 소식이 있어. 어떤 3차함수든, 직선을 잘 설정하면 무조건 3번 만나게 할 수 있어.

왜 그런지 생각해보자. 3차함수가 극대와 극소를 가지려면, 도함수(2차함수)가 실근 2개를 가져야 해. 3차함수의 도함수는 $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ 형태의 포물선이야.

이 포물선에 상수함수 $y = k$를 위아래로 움직여보면, 어떤 $k$에서는 반드시 포물선과 2번 만나는 구간이 있어. 도함수의 상수 부분은 원함수의 1차항 계수에 해당하니까, 결국 1차항 계수를 조절하면 어떤 3차함수든 극대·극소를 만들 수 있다는 거야.

극대·극소가 생기면, 그 사이를 지나는 직선을 그으면 반드시 3교점이 생겨. 마치 일본에서 물고기를 꼬치에 끼워서 굽는 것처럼, 직선이 3차함수의 곡선을 쭉 관통하는 모양이야.

그런데 4차함수는 어떨까? 4차함수는 모양에 따라 아무리 직선을 움직여도 4번 만나게 할 수 없는 경우가 있어. 그래서 실전에서는 주로 3차함수 + 1차 차함수 조합이 가장 강력해.

6. 출제자도 이렇게 문제를 만든다

솔직히 말하면, 수능이나 모의고사에서 3차함수 문제를 내는 출제자들도 이 원리를 알고 문제를 설계해. "3차함수와 직선이 만나는 조건"이 주어지면, 출제자는 네가 차함수 스킬을 쓸 줄 아는지를 보는 거야.

차함수 스킬을 모르면? $ax^3 + bx^2 + cx + d$에 조건을 하나하나 넣어서 4원 연립방정식을 풀어야 해. 시간은 시간대로 잡아먹고, 실수 확률은 올라가고, 결국 못 풀 수도 있어.

차함수 스킬을 알면? 조건이 이미 식에 녹아 있으니까, 핵심 계산만 딱 하면 끝. 이게 바로 빗의 힘이야.

7. 정리

오늘 배운 핵심을 정리하자.

차함수 스킬이란? 3차함수에 적절한 직선을 갖다 대서(차함수를 만들어서), 복잡한 식을 거리곱 형태로 단순화하는 기법이야.
사용법: 내려오기(차함수) → 관찰(거리곱) → 되돌아가기(보정)
왜 직선인가? 직선이 가장 단순하고 익숙하니까. 빗은 곧아야 해.
어디에 쓰나? 3차함수 문제에서 가장 강력해. 함수값, 미분계수, 접선 조건 등 거의 모든 계산에 적용 가능.

아빠가 미용실에서 빗 하나로 깨달은 것처럼, 너도 직선 하나로 3차함수의 세계가 달라지는 걸 느꼈으면 좋겠어. 다음 편에서는 차함수 스킬을 실전 문제에 적용하는 연습을 해볼 거야!

[함수그래프의 이동,축소,확대_001] 함수식을 버리고, "관계식"의 눈으로 바라보라.

fafamath — Thu, 2 Apr 2026 15:20:06 +0900

관계식의 눈으로 보라

아빠가 오늘 좀 중요한 이야기를 하려고 해.

너, 함수 그래프 변형 공부할 때 공식 몇 개나 외워야 하는지 알아? 평행이동, 대칭이동, 압축, 팽창, 축소, 확대... 하나하나 공식을 다 외우려고 하면 대충 10개는 넘어. 그런데 문제는 말이야, 오늘 외운 공식을 한 달 뒤 시험장에서 정확히 써먹을 수 있느냐는 거야.

솔직히 말해볼까? 못 써.

아니, 정확히 말하면 "약간 다르게" 기억해서 틀려. "x에 마이너스를 붙이는 건가, 플러스를 붙이는 건가?" "2를 곱하는 건가, 2분의 1을 곱하는 건가?" 이런 데서 실수가 나. 분명히 외웠는데, 시험장에서 손이 멈춰. 그리고 결국 감으로 찍어. 이게 현실이야.

그래서 아빠는 이 시리즈에서 전혀 다른 접근법을 제안하려고 해.

"외우지 마. 유도해. 30초면 돼."

응? 30초 안에 유도한다고? 그게 가능하냐고? 가능해. 정말 간단한 아이디어 하나만 알면 돼. 그 아이디어를 지금부터 알려줄게.

공식을 외우면 왜 틀리는가

학교에서 이런 문장을 배운 적 있지?

"y = f(x)의 그래프를 x축 방향으로 3만큼 평행이동하려면, x 대신 x빼기3을 대입하면 된다."

처음 이 말을 들었을 때 어떤 생각이 들었어? 아마 이랬을 거야. "어... 플러스 3 이동인데 왜 마이너스 3을 대입하지?" 그러면서도 "선생님이 그렇다고 하니까 일단 외우자"라고 했겠지.

⚠️

여기서 문제가 시작돼. 이해하지 못하고 외운 공식은 반드시 흔들려.

시험장에서 긴장하면 더 흔들려. 플러스인지 마이너스인지, 곱하는지 나누는지, 그 순간 머릿속이 하얘지는 경험, 해본 적 있지? 그건 네가 멍청해서가 아니야. 이해 없이 외운 공식의 당연한 결말이야.

공식을 10개 외우면 10개가 다 흔들려. 근데 원리 하나를 이해하면? 시험장에서 30초 만에 직접 유도해낼 수 있어. 유도한 공식은 절대 안 흔들려. 네가 직접 만든 거니까.

깨봉 박사님의 네트워크 — 여기서 시작이야

아빠가 존경하는 깨봉 선생님의 유튜브 영상 하나를 봤어. 연립방정식을 설명하는 영상이었는데, 거기서 깨봉 선생님이 이런 말씀을 하셨어.

"연립방정식을 네트워크로 생각하면 쉬워요."

5개의 식, 5개의 변수. 보통은 대입법이니 가감법이니 해서 기계적으로 풀잖아. 그런데 깨봉 선생님은 완전히 다르게 접근하셨어. 각각의 식을 "변수들 사이의 관계"로 보고, 그 관계들을 네트워크처럼 연결해서 시각화하신 거야.

a와 e의 관계, b와 e의 관계, c와 e의 관계... 이렇게 e를 중심으로 모든 변수가 네트워킹이 되어 있으니까, 테두리에 있는 a, b, c, d를 전부 e로 나타낼 수 있어. 마지막 관계식에 대입하면 e 하나로 된 식이 나오고. 끝.

아빠가 이 영상을 보고 정말 감동받았어.

방정식은 "답을 구하는 계산"이 아니라 "변수들 사이의 관계"다.

그리고 그 관계를 네트워크로 보면, 복잡한 것도 하나씩 연결해서 풀어낼 수 있다. 이 사고방식이 너무 좋아서, 아빠는 이걸 함수에도 적용해보기로 했어. 그리고 놀라운 걸 발견했어. 함수 그래프 변형 문제가 확 쉬워지더라고.

함수식이라는 감옥

우리가 수학 시간에 배우는 함수. y = f(x). 이걸 어떻게 배웠어?

"x에 어떤 값을 넣으면 y가 나온다."

맞지? x가 입력이고 y가 출력이야. 자판기처럼. 동전을 넣으면 음료수가 나오듯이, x를 넣으면 y가 나와. 이 사고방식, 나쁘지 않아. 함수의 기본 개념으로는 완벽해.

근데 문제가 하나 있어.

이 사고방식은 철저하게 x 중심이야. x가 주인공이고, y는 x에 종속된 부하 같은 존재야. x가 결정되면 y는 자동으로 따라오는 거니까.

그런데 말이야, 요즘 수학 문제를 잘 들여다보면 재미있는 변화가 보여. 예전에는 "x=2일 때 y의 값을 구하시오" 같은 문제가 많았어. 전형적인 x 중심 문제지. 근데 요즘은? "y=0이 되는 x의 개수를 구하시오", "y가 0보다 큰 x의 범위를 구하시오" 이런 문제가 늘고 있어.

심지어 킬러 문항에서는 y의 조건을 먼저 주고, 거기서 x를 역추적하라는 문제가 나와.

무슨 말이냐면, 이제 y도 x만큼 중요한 주인공이 됐다는 거야. x에서 y로의 일방통행이 아니라, x와 y가 서로 대등하게 얽혀 있는 관계. 그 관계를 읽어내는 능력을 시험하겠다는 거지.

그런데 우리는 여전히 "y = f(x)"라는 함수식에 갇혀서, x를 넣어서 y를 구한다는 생각만 하고 있어. 이게 감옥이야. 이 감옥에서 나와야 해.

관계식이라는 자유 — x와 y를 평등하게

감옥에서 나오는 방법은 간단해. "함수식"을 "관계식"으로 바꿔서 보는 거야.

$y = 2x + 3$이라는 함수식을 생각해봐. 이건 "x를 넣으면 y가 나온다"는 사고방식이야. 그런데 이걸 이렇게 써보면 어떨까?

$$2x - y + 3 = 0$$

뭐가 달라졌냐고? 글자만 바뀌었지 같은 거 아니냐고?

아니, 달라. 놀라울 정도로 달라.

첫 번째 형태 $y = 2x + 3$에서는 x가 원인이고 y가 결과야. x → y. 일방통행. 그런데 두 번째 형태 $2x - y + 3 = 0$에서는? x와 y가 평등해. 둘 다 이 관계식을 만족시키는 파트너야. 어느 쪽이 입력이고 어느 쪽이 출력이라는 위계가 없어.

신기한 게 있어. 이렇게 표현을 바꾸는 것만으로도 우리 뇌의 사고방식이 바뀌어. $y = 2x + 3$을 보면 뇌가 자동으로 "x값을 대입해서 y값을 구해야지"라는 1차적 사고를 해. 그런데 $2x - y + 3 = 0$을 보면? "x와 y가 어떤 관계로 엮여 있구나"라는 2차적 사고로 업그레이드돼.

이 2차적 사고가 바로 요즘 수능 문제에서 요구하는 트렌드야.

방법론 하나로 공식 10개를 대체한다

자, 이제 핵심이야. 관계식의 눈으로 그래프 변형을 바라보면, 모든 변형에 적용되는 하나의 방법론이 보여.

그 방법론은 딱 4단계야.

Step 1

주어진 함수를 관계식으로 본다. $f(x, y) = 0$.

Step 2

변형 조건에서, 원래 점 (x, y)와 새 점 (X, Y) 사이의 관계식을 뽑아낸다.

Step 3

x = 뭔가, y = 뭔가 형태로 정리한다.

Step 4

원래 관계식에 대입한다. 새 관계식 완성.

끝이야. 이게 전부야.

평행이동이든 대칭이동이든 압축이든 팽창이든 축소든 확대든, 이 4단계 구조는 절대 변하지 않아. 달라지는 건 딱 2단계뿐이야. 2단계의 관계식이 뭔지만 알면, 나머지는 기계적으로 따라가면 돼.

직접 해보자 — 4단계 실전 적용

말로만 하면 와닿지 않으니까, 직접 해보자.

문제: 관계식이 $x + y + 3 = 0$인 그래프를 x축으로 +3, y축으로 -2만큼 평행이동한 그래프의 관계식을 구하여라.

자, 잠깐. 시작하기 전에 딱 한 가지만 정리하고 가자.

우리가 구하려는 건 평행이동한 새 그래프야. 이 새 그래프 위의 임의의 점을 (X, Y) 라고 하자. 그러면 우리의 목적은 딱 하나야.

x, y에 관한 관계식을 이용해서, X, Y에 관한 관계식을 구하는 것.

원래 관계식은 x, y의 언어로 쓰여 있어. 우리는 그걸 X, Y의 언어로 번역하고 싶은 거야. 이 목적을 머릿속에 딱 박아두고, 이제 4단계를 차근차근 따라가 보자.

1단계 — 원래 관계식 확인 ▼

원래 그래프의 관계식을 확인해.

$$x + y + 3 = 0$$

이게 우리가 가진 출발점이야. 이 관계식을 만족하는 점 (x, y)가 원래 그래프 위에 있어.

2단계 — 점의 이동 관계식 뽑기 ▼

이제 핵심이야. 원래 그래프 위의 점 (x, y)가 평행이동을 통해 새 그래프 위의 점 (X, Y)로 옮겨간다고 생각해봐.

x축으로 +3만큼 이동했으니까, X좌표는 원래 x좌표보다 3이 커. 즉:

$$X = x + 3$$

y축으로 -2만큼 이동했으니까, Y좌표는 원래 y좌표보다 2가 작아. 즉:

$$Y = y - 2$$

이게 2단계야. "점이 어떻게 움직였는가"를 수식으로 표현한 것뿐이야. 어렵지 않지?

3단계 & 4단계 — 정리 및 대입 ▼

2단계에서 얻은 두 식을, x와 y를 주인공으로 다시 정리해.

$$X = x + 3 \quad \Rightarrow \quad x = X - 3$$

$$Y = y - 2 \quad \Rightarrow \quad y = Y + 2$$

이게 3단계야. 원래 좌표 x, y를 새 좌표 X, Y로 나타낸 거야. 이제 마지막으로 1단계 관계식에 이걸 대입해.

$$x + y + 3 = 0$$

$$(X - 3) + (Y + 2) + 3 = 0$$

정리하면 $X + Y + 2 = 0$

끝! 새 관계식 완성.

잠깐, 이게 왜 되는 거야?

한 발짝 물러서서 생각해봐.

원래 그래프 위의 점 (x, y)는 관계식 $x + y + 3 = 0$을 만족해. 이 점이 이동해서 새 그래프 위의 점 (X, Y)가 됐어. X, Y와 x, y 사이에는 $x = X - 3$, $y = Y + 2$라는 관계가 성립하지? 그러면 원래 관계식에 이걸 대입하면, 새 그래프 위의 점 (X, Y)가 만족해야 하는 관계식이 나오는 거야. 논리가 딱 맞아떨어지지?

뭘 외웠어? 아무것도 안 외웠어. "오른쪽으로 3 가면 X = x + 3"이라는 건 외우는 게 아니야. 당연한 사실이야. 나머지는 그냥 대입했을 뿐이야.

왜 마이너스를 대입하는가 — 드디어 풀리는 의문

여기서 아주 중요한 포인트가 하나 나와.

수학 시간에 이런 말 들었지? "x축으로 +3만큼 평행이동하려면, x 자리에 x빼기3을 대입하면 된다." 처음 들었을 때 이상하지 않았어? 플러스 3 이동인데 왜 마이너스 3을 대입하는 거지?

그 의문이 지금 완전히 풀려.

우리가 한 걸 봐. 오른쪽으로 3 이동하면 X = x + 3이야. 여기서 x를 정리하면 x = X - 3이잖아. 이걸 원래 관계식에 대입하니까, x 자리에 X - 3이 들어간 거야.

새 그래프의 좌표 X 기준으로 원래 좌표 x를 표현하면 X - 3이 되니까, 당연히 마이너스 3이 나오는 거야.

당연한 거야. 전혀 이상할 게 없어.

이걸 이해했다는 건, 이제 외울 필요가 없다는 거야. 시험장에서 30초 안에 직접 유도해낼 수 있어. 유도한 공식은 틀릴 수가 없어. 네가 그 자리에서 직접 만든 거니까.

잠깐, 라이프니츠 이야기

여기서 잠깐 옆길로 새볼게. 재미있는 이야기니까.

미분을 처음 만든 사람이 두 명이야. 뉴턴과 라이프니츠. 뉴턴은 미분을 $f'(x)$, 하나의 숫자로 봤어. 깔끔하지? 근데 라이프니츠는 달랐어. 미분을 $dy/dx$라고 썼어. y의 아주 작은 변화량을 x의 아주 작은 변화량으로 나눈 것. 분수처럼 보이지?

함수식 사고

$f'(x)$는 "x를 넣으면 기울기가 나오는" 철저한 x중심 사고방식.

관계식 사고

$dy/dx$는 x와 y 변화량의 파트너십. x도 변하고 y도 변하는 대등한 관계.

이게 관계식 사고랑 정확히 같은 맥락이야. 시험장에서 뭐가 더 유용할까? 솔직히 말하면 라이프니츠 쪽이야. 특히 치환적분이나 매개변수 미분에서, dy/dx를 분수처럼 다루면 놀라울 정도로 간단해져.

핵심은 이거야. x와 y를 평등하게 보는 관점이, 수학 여러 분야에서 강력하다. 그래프 변형에서도, 미분에서도.

앞으로 7편의 여정

이 시리즈에서 우리가 갈 길을 미리 보여줄게. 매 편마다 같은 4단계 방법론을 사용할 거야. 달라지는 건 2단계뿐이야.

1편 — 평행이동: 2단계 관계식이 $X = x + a$, $Y = y + b$. 가장 기본이야.
2편 — 대칭이동: 2단계 관계식이 부호 바꾸기. $X = -x$ 또는 교환.
3편 — 복합이동: 대칭이랑 평행이동을 합치면 순서가 중요한데, 4단계를 거치면 순서 문제가 해결돼.
4편 — 압축과 팽창: 최근 킬러 문항에서 자주 나와. 2단계 관계식이 $X = kx$.
5편 — 임의의 기준점: 기준점이 원점이 아닐 때의 변형.
6편 — 모든 이차함수의 귀결: 모든 이차함수가 $y = x^2$ 하나로 귀결된다는 걸 보여줄 거야.
7편 — 지수함수의 변환: 밑이 달라도 다 똑같은 함수의 압축팽창이라는 놀라운 사실.

오늘의 핵심 — 딱 하나만 기억해

오늘 이야기가 좀 길었지? 근데 핵심은 딱 하나야.

함수식 말고 관계식으로 봐.

x와 y를 주종관계로 보지 말고, 평등한 파트너로 봐. 그리고 그래프를 변형할 때는 4단계를 따라가면 돼. 공식 10개를 외울 필요가 없어. 방법론 1개만 이해하면 시험장에서 30초 안에 유도할 수 있어.

어렵다고? 아니야. 정말 간단한 아이디어야. 다음 편부터 하나씩 보여줄게. 나만 믿고 따라와.

다음 편 예고: 1편 — 평행이동. "x 대신 x빼기3을 넣어라"를 외우지 말고, 왜 x빼기3인지를 30초 만에 유도하는 법.

fafamath 님의 블로그

[지수함수와 친해지기_001] 지수함수 그래프 개형을 익혀보자~(무한구간의 넓이가 유한? 진짜?)

도입 — 시리즈 첫 시간이야

지수함수가 뭐냐고?

그래프 그려보자 — 폭발 + 점근, 그리고 y축 대칭

지수함수의 5대 특징 정리

무한구간인데 유한값? 진짜야!

헷갈리지 마! 비슷하게 생긴 세 친구

마무리 — 마법의 용수철로 이어진다

Q1. 출제자는 왜 이 단원을 냈을까?

Q2. 핵심 출제 포인트 3가지

Q3. 출제자가 노린 함정

Q4. 가능한 변형 예측

[합성함수와 친해지기_005]식은 하나인데,4단으로 변신하는 함수! 4단변신로보트!(feat. 등비수역 극한)

보통 합성함수 vs 오늘의 신기한 함수

비밀은 "한 변수씩만 보는 것"

4단 변신 시뮬레이션 — ①, ②, ③

경우 ④ : x = -1 — 진동인데 진동이 사라지는 마법

짜잔~ 마지막 합쳐진 모습!

다음 시간에는~

[합성함수와 친해지기_006] 2026 3월 교육청 28번을 4단 변신로보트로 완전 정복

5편 끝났을 때 우리 상태

추가 조건 — 문제 끝에 숨어있던 한 줄

가로선을 위아래로 움직여보자 ⭐

결정타 — f(x)의 극댓값은 정확히 2

a = 3√3 — 미지수 잡기

답 계산 — 4단 변신로보트의 진짜 활용!

합성함수와 친해지기 시리즈, 안녕~

[합성함수와 친해지기_004] 치환적분, 어렵다고? 합성함수 미분 거꾸로일 뿐이야(featr.라이프니쯔)

1. 도입 — 치환적분, 어렵다고? 그래도 가보자~

2. 맛보기 예제 — 가장 전형적인 치환적분 문제

3. 풀이 1 (한국식) — 일단 학교에서 배운 대로

⭐ 4. 풀이 2 (라이프니츠 정통식) — 아빠가 강력 추천!

5. 핵심 — "2x는 사라진 게 아니야. dx와 결혼했어!"

6. 검산해보자 — 그런데 어, 합성함수 미분이잖아?

✨ 7. 마법은 언제 일어나? — $g'(x) \cdot dx$가 있을 때만

8. 마무리 — 2:2 데이트, 진짜 커플은 따로 있어!

[합성함수와 친해지기_003] 합성함수 미분가능성, 꿰매기와 이어붙이기로 구분하면 쉽다

합성함수와 친해지기 003

꺾인 점에서도 매끄러울 수 있다고? 꿰매기와 이어붙이기

들어가며 — 1편의 떡밥, 드디어 회수한다

꿰매기란? — 좌·우 미분계수의 차이가 사라지는 순간

핵심 공식 — "편차 m + n = 0"

실전 — 2026학년도 3월 학평 22번

4-1. x = 2 — 꿰매기로 해결

4-2. x = 0 — 이어붙이기로 해결 (꿰매기 ❌)

4-3. 조건식 4개로 f(x) 결정

곱셈 꿰매기? — 한 줄 미리보기

정리 — 꿰매기와 이어붙이기, 다음 편 떡밥

[합성함수와 친해지기 002 ] 합성함수 미분, 라이프니츠 정통 사용법으로!

합성함수와 친해지기 002

합성함수 미분, 라이프니츠 정통 사용법으로! — 치환 없이 1 곱하기로 끝

들어가며 — 어둠의 스킬, 시즌 2

오늘의 스타 — dx, 그리고 분필가루로 박제된 테니스라켓

그런데 잠깐 — d 뒤에는 뭐든 붙을 수 있어

변화의 릴레이 — 한 줄짜리 직관

라이프니츠 표기법 — $\frac{d}{dx}f(x)$ 의 정체

라이프니츠 정통 풀이 — 치환은 사실 필요 없다

실전 — 진짜 문제로 굴려보자

곱미분과 헷갈리지 마라 — 곱은 더하고, 합성은 곱한다

마무리 + 다음 편 떡밥

3편 떡밥

4편 떡밥

[합성함수와 친해지기_001]N축? 갖다 버려. 이제부터는 꺾인 점을 찾아서, 개미의 눈으로 보라!!

N축? 갖다 버려.이제부터는 꺾인 점을 찾아서,개미의 눈으로 보라!!

합성함수의 정의 — "두 단계 변환기"

가장 단순한 방법 — 0.01씩 다 대입하기 (그러나 노가다)

첫 번째 아이디어 — 꺾인 점만 찾자

두 번째 아이디어 — 개미의 눈

두 아이디어를 적용한 정석 — 표로 풀어보기

1단계: $x$의 변화율 체크

2단계: $g(x)$의 변화율 체크

3단계: $f(g(x))$의 변화율 체크 — 개미의 눈 등장

4단계: 시작점·끝점 체크

5단계: 4점 연결

그래서 N축은 뭐냐고? 한 번 짚고 가자

정리, 그리고 다음 편 예고

[차함수 스킬_002] 직선차함수를 이용하면, 계산량을 80% 줄일 수 있어. 진짜? 진짜!!

0. 미용실에서 발견한 수학

1. 차함수 스킬이란? — 빗을 갖다 대는 원리

N축? 갖다 버려.
이제부터는 꺾인 점을 찾아서,
개미의 눈으로 보라!!