[합성함수와 친해지기_006] 2026 3월 교육청 28번을 4단 변신로보트로 완전 정복

오늘은 합성함수와 친해지기 여섯 번째 시간이야~

지난 5편 기억나? "식은 하나인데 4단으로 변신하는 신기한 합성함수" 살펴봤지~

g(x) 그래프까지 멋지게 그려놓고 끝났는데… 사실 그게 끝이 아니었어.

오늘은 드디어 답까지 계산해보자!

5편에서 완성한 g(x) 그래프

이 그래프, 다시 봐도 우아하지?

💡

작은 정정: 지난 5편에서 그래프 마지막에 점을 설명하면서 아빠가 살짝 헷갈리게 말했어. g(-1) = 1, g(1) = 1 이 정확한 값이야. 두 채워진 점이 똑같이 높이 1이지~ (그래프에 그려진 점 (1, 2)는 2x²의 시작 위치인 빈 점이야.) 헷갈렸으면 미안~

자, 이걸로 정말 끝장을 보자~

01

5편 끝났을 때 우리 상태

먼저 5편에서 어디까지 왔는지 정리해볼까?

• f(x)는 ax³ + bx 꼴인 3차함수 (원점대칭)
• f(-1) = 0, f(1) = 0 이라는 조건이 자동으로 따라옴
• 따라서 a + b = 0, 즉 b = -a

여기까지 왔어. 그러니깐 f(x)는 결국 f(x) = ax³ - ax = ax(x² - 1) 꼴.

근데 아직 a 값을 모르네…

미지수가 하나 남았다는 거야. 이 a를 잡으려면 조건 하나가 더 필요해. 자, 그 조건이 뭘까?

02

추가 조건 — 문제 끝에 숨어있던 한 줄

문제 끝에 이런 조건이 있었어.

"y = g(x)의 그래프와 직선 y = k가 만나는 점의 개수가 1이 되도록 하는 자연수 k가 존재할 때"

음… 무슨 말이지? 천천히 풀어볼까?

직선 y = k 는 가로선이야. k 값에 따라 위로 올라갔다 내려갔다 하는 가로선이지.

이 가로선이 g(x) 그래프와 딱 1번만 만나는 자연수 k가 존재한다는 거야.

어? 자연수 k 중에 그런 게 있다고?

03

가로선을 위아래로 움직여보자 ⭐

자, 이건 그림을 보면서 가야 해. 5편에서 그린 g(x) 그래프 다시 떠올려봐.

• 양쪽 끝(|x| > 1)은 2x² 포물선 두 조각, 위로 쭉쭉 솟아오름 (양 끝 시작값은 2부터)
• 가운데(|x| < 1)는 f(x) 곡선, 극대·극소를 가진 3차함수
• x = ±1 위치엔 채워진 점 (-1, 1)과 (1, 1) 두 개

자, 가로선 y = k 를 자연수 k 값으로 올려보면서 만남 횟수를 세어볼까?

y = k 가로선 시뮬레이션 (k=1, 2, 3, 4)

k = 1일 때: 가로선이 채워진 두 점 (-1, 1)과 (1, 1)을 통과해. 그리고 f(x) 곡선과는 |x|<1 구간에서 2번 만나. 총 4번.

k = 2일 때: 가로선이 (1, 1)과 (-1, 1) 위로 올라갔어. f(x)와는 어떻게 될까? f(x)의 극대점에서 딱 1번 접한다면, 그 1번만 만나~ (2x² 포물선은 |x|>1이라 y=2 위치엔 빈 점이라 안 만남.) 총 1번 ★

k = 3일 때: f(x) 영역과는 안 만남. 2x² 포물선과 양쪽으로 2번 만남. 총 2번.

k = 4일 때: 마찬가지로 2x² 포물선과 2번. 총 2번.

🎯

자연수 k 중에서 정확히 1번 만나는 건 k = 2 뿐이야~

04

결정타 — f(x)의 극댓값은 정확히 2

자, k = 2일 때 정확히 1번 만나려면 어떤 조건이 필요했지?

f(x)의 극대점에서 가로선 y = 2 가 정확히 접해야 한다는 거였어.

다시 말해서 — f(x)의 극댓값이 정확히 2여야 해!

만약 극댓값이 2보다 크다면? k=2일 때 가로선이 극대점을 지나가서 f(x)와 2번 만나게 돼. 1번이 아니지.

만약 극댓값이 2보다 작다면? k=2일 때 가로선이 f(x)보다 위에 있어서 안 만나. 만남 0번.

딱 극댓값 = 2 일 때만, k=2 가로선이 극대점에서 접하면서 정확히 1번 만남이 성립하는 거야~

대박이지~ 추가 조건 한 줄에서 결정적 정보가 빠져나왔어!

✨

딱 극댓값 = 2 일 때만, k=2 가로선이 극대점에서 접하면서 정확히 1번 만남이 성립

05

a = 3√3 — 미지수 잡기

이제 f(x)의 극댓값 = 2 라는 식을 풀어서 a 값을 구해보자.

f(x) = ax³ - ax 이니깐, f'(x) = 3ax² - a = a(3x² - 1).

f'(x) = 0 이면 x = ±1/√3 = ±√3/3.

극댓값은 x = -√3/3 에서 나와 (a > 0 이라고 했으니깐).

f(-√3/3) = 2 풀이로 a = 3√3 도출

f(-√3/3) 을 계산해서 2와 같다고 놓으면…

a = 3√3 이 딱 나와!

그래서 f(x) = 3√3 · x · (x² - 1) 로 완전히 결정됐어~

06

답 계산 — 4단 변신로보트의 진짜 활용!

자, 이제 진짜 답을 계산할 차례야.

문제가 묻는 건 g(-1/2) × g(2) 이지?

여기서 5편에서 배운 4단 변신로보트가 진가를 발휘해!

-1/2 은 |x| < 1 이지? 그러면 변신 ② 가 적용돼. 즉 g(-1/2) = f(-1/2) 야.

f(-1/2) = 3√3 · (-1/2) · ((-1/2)² - 1)
= 3√3 · (-1/2) · (-3/4)
= 9√3 / 8

2는 |x| > 1 이지? 그러면 변신 ① 이 적용돼. 즉 g(2) = 2 · 2² = 8

최종 답:

최종 답 박스: g(-1/2) × g(2) = 9√3

g(-1/2) × g(2) = (9√3 / 8) × 8 = 9√3

정답 5번~ 와~ 4단 변신로보트로 깔끔하게 답까지 나왔어!

07

합성함수와 친해지기 시리즈, 안녕~

이렇게 합성함수와 친해지기 시리즈 6편이 모두 끝났네~

함께 걸어온 길을 한 번 돌아볼까?

1편: 합성함수 그리기 ▼

N축 대신 개미의 눈으로 직관적으로 합성함수 그래프를 그리는 법을 배웠어.

2편: 합성함수 미분 ▼

체인룰과 라이프니츠 표기법의 의미를 파헤쳤지!

3편: 합성함수 미분가능성 ▼

부드럽게 꿰매는 법, 첨점과 미분가능성의 관계를 알아봤어.

4편: 치환적분 ▼

치환적분이 왜 합성함수 미분의 거울인지 확인해봤지.

5편: 4단 변신로보트 ▼

그래프 완성! 단 하나의 식이 만들어낸 우아한 그래프의 매력을 감상했지.

6편: 실전 정복 (오늘!) ▼

추가 조건을 해석해서 가로선 시뮬레이션을 하고 미지수를 구한 뒤 최종 답을 냈어!

어땠어? 처음엔 합성함수가 좀 낯설었지? 그런데 이제는 좀 친해진 것 같아?

특히 오늘 본 2026 3월 교육청 28번 문제는 출제자의 센스가 정말 빛나는 문제였어. 4단 변신로보트, 진동이 사라지는 마법, 그리고 가로선 한 줄로 미지수를 잡는 우아함까지~ 수능 출제진의 내공이 느껴지는 문제였지.

🎓

수학이 단지 답을 맞히는 게 아니라, 이런 우아한 구조를 발견하고 음미하는 학문이라는 걸 다시 한 번 느꼈네~

다음 편은 또 재미있는 걸로 준비할께~

안녕~