[합성함수와 친해지기_005]식은 하나인데,4단으로 변신하는 함수! 4단변신로보트!(feat. 등비수역 극한)

오늘은 합성함수와 친해지기 다섯 번째 시간이야~

지금까지 합성함수의 정통을 차근차근 따라왔지?

그리는 법 → 미분하기 → 미분가능성으로 꿰매기 → 치환적분으로 거꾸로 풀어내기~

오늘은 잠시 쉬어가면서, 아빠가 보고 너무 신기했던 합성함수 하나를 함께 구경해볼까?

학습이라기 보단 감상이야. 그러니깐 부담 없이~

01

보통 합성함수 vs 오늘의 신기한 함수

자, 보통 합성함수 문제는 어떻게 생겼지?

대부분 이런 식이야.

"x가 -1보다 작은 구간에서는 f(x) = ~~,
x가 -1보다 크고 1보다 작은 구간에서는 f(x) = ~~,
x가 1보다 큰 구간에서는 f(x) = ~~"

이렇게 x의 구간을 미리 나눠서, 각 구간마다 함수식을 따로 적어주는 거야.

그런데 오늘 볼 함수는 좀 달라.

이 문제야. 2026학년도 대비 3월 교육청 미적분 28번이란다.

2026학년도 3월 교육청 미적분 28번

문제 안에 함수 g(x)가 이렇게 정의되어 있어.

g(x) 정의식 — 단 하나의 식

어때? 딱 한 줄. 그것도 단 하나의 식이야.

구간을 나누지도 않았어. 그냥 x에 어떤 값을 넣든 이 식 하나로 처리한다는 거지.

그런데 말이야~ 막상 x 값을 이리 저리 넣어보면…

🤖

"이 단 한 식이 등비수열 극한 때문에 저절로 4가지 모습으로 변신해버려. 이른바 4단 변신로보트~"

마치 한 대의 로봇이 4단으로 변신하는 것처럼!

신기하지?

02

비밀은 "한 변수씩만 보는 것"

이 함수가 좀 헷갈리는 이유가 뭘까?

바로 변수가 두 개라서야. x도 변하고, n도 변하니깐.

두 개를 동시에 보면 누구나 헷갈려. 그래서 아빠가 비밀 하나 알려줄께~

💡

"변수가 두 개라 헷갈리는 거야. 한 번에 한 변수씩만 고정해서 보면 패턴이 보여."

즉, x 자리에 특정한 숫자를 대입해서 잠시 상수처럼 고정시켜놓고, n만 무한대로 보내보는 거야.

이걸 3~4번 정도 반복해보면…

"아하~ 이런 패턴이구나~"

라는 깨달음이 찾아와. 이른바 아하 모먼트(Aha~ moment)~

자, 그럼 x를 어떤 값으로 나눠봐야 할까?

등비수열의 극한 때문에 4가지로 나누면 돼.

4단 변신의 분기 조건

이렇게 4가지! 자, 하나씩 시뮬레이션~

03

4단 변신 시뮬레이션 — ①, ②, ③

x의 절댓값이 1보다 크면, n이 무한대로 갈 때 x^n과 x^(2n)은 어떻게 될까?

당연히 매우 매우 커지지!

그래서 분자와 분모에서 가장 큰 항인 x^(2n)을 기준으로 정리하면…

경우 1 : |x| > 1 → 2x²

결국 g(x) = 2x² 가 돼.

어? 갑자기 난데없이 2차함수가 나오네~ 신기하다~

이번엔 x의 절댓값이 1보다 작은 경우. n이 무한대로 갈 때 x^n과 x^(2n)은? 0으로 한없이 가까워지지.

그래서 이번엔 분자·분모에서 상수항(=0이 안 되는 항)이 가장 중요해져.

경우 2 : |x| < 1 → f(x)

결국 g(x) = f(x) 가 돼.

우와~ 이번엔 f(x)가 그대로 나오는구나~

x = 1 이면, 1^n = 1 이고 1^(2n) = 1 이니깐~

경우 3 : x = 1

값이 (3 + f(1)) / 3 으로 수렴해. f(1) = a + b 이니깐 g(1) = (3 + a + b) / 3.

여기까지는 어렵지 않지?

자, 이제 진짜 신기한 부분이야~

04

경우 ④ : x = -1 — 진동인데 진동이 사라지는 마법

x = -1 일 때를 보자. 이게 오늘의 클라이맥스야~

x = -1 이면 (-1)^n 은 어떻게 되지?

n이 홀수면 -1이 되고, n이 짝수면 +1이 돼.

즉 n에 따라 값이 왔다 갔다 진동해. 정해진 한 값으로 수렴 안 한다는 거야.

경우 4 : x = -1 진동 분석

원칙적으로는 "수렴하는 극한값을 갖지 못한다" 가 정답이야.

보통 여기서 끝나야 해.

근데~ 잠깐만!

문제를 다시 봐봐. 박스 안에 이런 조건이 있었어~

박스 조건 (모든 실수 x에 대해 극한 존재)

"모든 실수 x에 대해 극한이 존재한다" 라고 말이야.

모든 실수에는 x = -1 도 당연히 포함되지? 그렇다면 x = -1 일 때에도 수렴해야 한다는 말이잖아!

어? 분명히 진동인데 어떻게 수렴해?

비밀은 f(-1) 값에 있어.

원래는 n이 홀수일 때 g(-1) 과 n이 짝수일 때 g(-1) 이 서로 다른 값이라 진동하는 거였지?

그런데 만일~ f(-1) 의 값을 아주아주 특별하게 잡아준다면?

두 값이 같아지면서 진동이 사라지고 한 값으로 수렴해버려.

n 짝수일 때 g(-1) = (3 - a - b) / 3

n 홀수일 때 g(-1) = 1 - a - b

이 두 식을 같다고 놓고 풀면 f(-1) = 0 이라는 조건이 자동으로 튀어나와.

f(-1) = -a - b 였으니깐 a + b = 0 까지 따라 나오지~

그리고 f(x)가 원점대칭인 3차함수(ax³ + bx)이므로, f(1) = 0 도 자동으로 따라와.

핵심 결론 — f(-1)=0, f(1)=0

대박이지!

✨

"진동인데 진동이 사라지는 마법~ 이건 출제자의 센스가 빛나는 장면이야."

아빠가 진짜 이 부분이 너무 좋아.

이건 출제자의 센스가 빛나는 장면이야.

학생에게 "발산이니 끝~"이라고 단순히 묻지 않고, 박스 조건 한 줄로 "f(-1) 값을 너가 찾아내봐" 라고 우아하게 요구한 거지. 정말 잘 만든 문제야~

05

짜잔~ 마지막 합쳐진 모습!

자, 4가지 경우를 하나씩 시뮬레이션 다 했어.

먼저 4단 변신 결과를 한눈에 정리해볼까?

4단 변신 결과 한눈 정리

이걸 따로따로 보면 각각 단순해 보여. 그런데~ 한 그림에 모아 그려보면 더 재미있는 모습이 나와!

최종 g(x) 그래프 — 4단 변신의 합쳐진 모습

봐봐~ 정말 우아하지?

|x| > 1 구간에는 2x² 포물선 두 조각이 양쪽에 솟아있고, |x| < 1 구간에는 f(x) 그대로 곡선이 흐르고, x = ±1 위치에는 모두 높이 1로 점이 콕 찍혀있어 (그래프에 그려진 점 (1, 2)는 2x²의 시작 위치인 빈 점이야).

단 하나의 식이 만든 그림이라는 게 안 믿겨질 정도야.

🎨

"단 하나의 식이 만든 그림이라는 게 안 믿겨질 정도야. 수학의 우아한 일면이지~"

이게 합성함수의 우아한 일면이야. 그동안 1~4편에서 다뤘던 합성함수의 정통과는 또 다른 매력이지~

수학이 단지 계산이 아니라, 이런 우아함을 음미하는 학문이라는 걸 한 번 더 느끼게 되네~

06

다음 시간에는~

오늘은 여기까지!

신기한 g(x) 그래프를 그려봤는데, 사실 이 문제는 여기가 끝이 아니야.

6편 예고 — 추가 조건

문제에는 이런 추가 조건도 있었어. "y = g(x) 의 그래프와 직선 y = k 가 만나는 점의 개수가 1이 되도록 하는 자연수 k 가 존재할 때" 라는 거지.

이 조건을 사용하면 a, b 값이 완전히 특정돼서 답을 계산할 수 있어.

답까지 계산해보는 건 다음 시간(6편)에 해보자~

안녕~